Question

1)при каком наибольшем целом значении х выражение принимает отрицательное значение? 2)решите уравнение: log₂(3-2^x)+log₂(5-2^x)=4 3)решите неравенство:

Answer 1

1) $\frac{x^2/2+3}{x^2-9x+14} \ \textless \ 0$
Числитель больше 0 при любом х, поэтому нужно решить неравенство
x^2 - 9x + 14 < 0
(x - 7)(x - 2) < 0
x ∈ (2; 7)
ответ: при x = 6

2) $log_2(3-2^x)+log_2(5-2^x)=4$
Область определения: 2^x < 3; $x \ \textless \ log_2(3)$
Сумма логарифмов равна логарифму произведения.
Сделаем замену 2^x = y > 0 при любом х
$log_2[(3 - y)(5- y)]=4=log_2(16)$
(3 - y)(5 - y) = 16
y^2 - 8y + 15 - 16 = 0
y^2 - 8y - 1 = 0
D/4 = 4^2 - (-1) = 16 + 1 = 17
y1 = 2^x = 4 - √17 < 0 - не подходит 
y2 = 2^x = 4 + √17 > 3 - не подходит.
ответ: Решений нет.
Если бы справа было 3, а не 4, то было бы решение x = 0.

3) |2x^2 - x - 1| ≥ 5
Распадается на два неравенства
а) 2x^2 - x - 1 ≤ -5
2x^2 - x + 4 ≤ 0
D = 1 - 2*2*4 = 1 - 16 = -15 < 0
Решений нет

б) 2x^2 - x - 1 ≥ 5
2x^2 - x - 6 ≥ 0
D = 1 - 4*2*(-6) = 1 + 48 = 49 = 7^2
x1 = (1 - 7)/4 = -6/4 = -3/2; x2 = (1 + 7)/4 = 8/4 = 2
ответ: x ∈ (-oo; -3/2] U [2; +oo)