Question

Умоляю, решить: дифференциальное уравнение

Answer 1

Разделим обе части уравнения на x
$y'- \dfrac{y}{x(x+1)} =1$
Классификация: дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенной относительно производной, неоднородное.
Пусть $y=uv$, тогда $y'=u'v+uv'$
$u'v+uv'- \dfrac{uv}{x(x+1)} =1\\ \\ \\ u'v+u\bigg(v'- \dfrac{v}{x(x+1)} \bigg)=1$
Уравнение Бернулли состоит из двух этапов.
1) Предположим, что второе слагаемое равняется нулю:
$v'- \dfrac{v}{x(x+1)} =0\\ \\ \\ v'= \dfrac{v}{x(x+1)}$
Это уравнение с разделяющимися переменными. Переходя к дифференциалам:
$\dfrac{dv}{dx} = \dfrac{v}{x(x+1)}$
Разделим переменные
$\dfrac{dv}{v} = \dfrac{dx}{x(x+1)}$ - уравнение с разделёнными переменными.
Проинтегрируем обе части уравнения:
$\displaystyle \int\limits { \frac{dv}{v} } \, = \int\limits { \frac{1}{x^2+x} } \, dx \\ \\ \ln|v|=\ln\bigg| \frac{x}{x+1}\bigg|\\ \\ \\ v= \frac{x}{x+1}$

2) Зная v, найдем u(x)
$u'v=1\\ \\ u'\cdot \dfrac{x}{x+1} =1\\ \\ u'= \dfrac{x+1}{x} =1+ \dfrac{1}{x}$
Проинтегрируем обе части уравнения:
$u= \displaystyle \int\limits {\bigg(1+ \dfrac{1}{x} \bigg)} \, dx =x+\ln|x|+C$

Чтобы записать общее решение исходного уравнения, необходимо выполнить обратную замену.

$y=uv=\bigg(x+\ln|x|+C\bigg)\cdot \dfrac{x}{x+1}$

ответ: $\bigg(x+\ln|x|+C\bigg)\cdot \dfrac{x}{x+1}$