Рассмотрим последние цифры степеней чисел 3 и 7 (очевидно, степени чисел 33 и 77 оканчиваются на те же цифры; в таблице последняя цифра числа x обозначена как x mod 10):
Дальше таблицу можно не продолжать: поскольку последняя цифра степени определяется только последней цифрой предыдущей степени, то дальше всё будет повторяться: например, для степеней тройки дальше идут 3, 9, 7, 1, 3, 9, ... Таким образом, последовательность последних цифр степеней тройки и семёрки является периодической с периодом 4, то есть прибавление любого количества четвёрок к показателю степени последнюю цифру не меняет.
, поэтому 
оканчивается на ту же цифру, что и 
, то есть на 3. 
, поэтому 
оканчивается на ту же цифру, что и 
, то есть на 7. Значит, сумма 
оканчивается на ту же цифру, что и 
, то есть на 0. Искомый остаток равен нулю.
ответ. 0
Найдем, какую часть бассейна сможет наполнить каждая из труб за один час.
В условии задачи сказано, что первая труба может наполнить бассейн за 3 часа, а вторая труба наполняет весь бассейн за 2 часа, следовательно, за 1 час первая труба сможет наполнить 1/3 часть бассейна, а вторая труба сможет наполнить 1/2 часть бассейна.
Тогда, при совместной работе две трубы за 1 час смогут наполнить 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6 частей бассейна, а весь бассейн наполнят за 6/5 ч , что в минутах составляет (6/5) * 60 = 6 * 60 / 5 = 6 * 12 = 72 мин.
ответ: за 72 минуты.
Пусть числитель дроби х, тогда знаменатель х+1. По условию
(х+1)х\(х+1) + (х+1)\х = 2 1\30 = 61\30. ОДЗ: х≠0 и х≠-1
Дальше на фото: