Question

Когда система уравнений имеет одно решения , когда имеет бесконечно много решений , а когда не имеет решений вообще писать по нормальному что ба всё было понятно.

Answer 1

Рассмотрим систему уравнений

$\left \{ \left \begin{array}{c} f_{1}(x)=0 \\f_{2}(x)=0\\...\\f_{n}(x)=0\end{array}\right } \right.$

Каждое уравнение системы определяет на плоскости некоторое множество точек A1, A2, ..., An (может быть пустое или одну точку или бесконечно много точек). Решением систему уравнений называют пересечение всех этих множеств, то есть

A= A1 ∩ A2 ∩ ... ∩An.

Если

1) множество A состоит только из одной точки, то система уравнений имеет одно решение;

2) множество A пустое, то система уравнений не имеет решений;

3) множество A состоит из бесконечно много точек, то система уравнений имеет бесконечно много решений.

В частном случае можем рассмотреть систему линейных уравнений:

$\left \{ \left \begin{array}{c} a_{1}\cdot x+b_{1}\cdot y+c_{1}=0 \\a_{2}\cdot x+b_{2}\cdot y+c_{2}=0\\...\\a_{n}\cdot x+b_{n}\cdot y+c_{n}=0\end{array}\right } \right.$

в которой, каждое из уравнений системы определяет на плоскости некоторую прямую.

Тогда возможны случаи:

1. Если все прямые совпадают, то система имеет бесконечное количество решений - так как в этом случае точек пересечений бесконечно много.

2. Если хотя бы 2 прямые системы параллельны, то есть не совпадают, то система не имеет решения - так как в этом случае нет точки пересечения.

3. Если все прямые имеют одну точку пересечения, то система имеет одно решение.