Question

Решить уравнение 3sin^2x+1/2sin2x=2cos^2x

Answer 1

$3sin^2 x+\frac{1}{2}sin(2x)=2cos^2x$
используем формулу двойного синуса $sin(2A)=2sinAcosA$
$3sin^2 x+\frac{1}{2}*2sin x*cos x-2cos^2 x=0$
$3sin^2 x+sin x*cos x-2cos^2 x=0$
при $sin x=0; cos x=1; 3*0^2+0*1-2*(1)^2 =-2\neq 0$
при $sin x=0; cos x=-1; 3*0^2+0*(-1)-2*(-1)^2 =-2\neq 0$
значит при делении на $cos^2 x$ потери корней не будет

делим на $cos^2 x$, при этом используем $tg x=\frac{sin x}{cos x}$

получим уравнение
$3tg^2 x+tg x-2=0$
делаем замену
$tg x=y$
$3y^2+y-2=0$
$D=1^2-4*3*(-2)=25=5^2$
$y_1=\frac{-1-5}{2*3}=-1$
$y_2=\frac{-1+5}{2*3}=\frac{2}{3}$
возвращаемся к замене
$tg x=-1; x=arctg(-1)+\pi*k$
$x=-\frac{\pi}{4}+\pi*k$, k є Z

$tg x=\frac{2}{3}$
$x=arctg \frac{2}{3}+\pi*n$, n є Z
ответ: $-\frac{\pi}{4}+\pi*k$, k є Z
$arctg \frac{2}{3}+\pi*n$, n є Z