Question

X^log3(3x)=9 решить логарифмическое уравнение

Answer 1

ОДЗ:
x ∈ (0; 1) U (1; +∞) 
Представим степень в виде логарифма:
log₃3x = logₓ9
Воспользуемся свойством:
$log_c{ab} = log_ca + log_cb$
log₃3 + log₃x = 1/log₉x
Воспользуемся ещё одним свойством:
$log_{a^p}b = \dfrac{1}{p} log_ab$
log₃x + 1= 1/0,5log₃x
log₃x + 1= 2/log₃x
Пусть t = log₃x (t ≠ 0).
t + 1 = 2/t
t - 2/t + 1 = 0
(t² + t - 2)/t = 0
t² + t - 2 = 0
t₁ + t₂ = -1
t₁t₂ = -2
t₁ = -2; t₂ = 1
Обратная замена:
log₃x = -2
x = 1/9
log₃x = 1
x = 3
ответ: x = 1/9; 3. 

Answer 2

X^log(3)(3x)=9
прологарифмируем по основанию 3
log(3)x^log(3)(3x)=log(3)9
log(3)x*(1+log(3)x)=2
log(3)x=a
a*(1+a)-2=0
a²+a-2=0
D=1+8=9>0
a1+a2=-1 U a1*a2=-2
a1=1⇒log(3)x=1⇒x=3
a2=-2⇒log(3)x=-2⇒x=1/9
Проверка
x=3
3^log(3)9=9  9=9
x=1/9
(1/9)^log(3)(1/3)=3^-2log(3)(1/3)=3^log(3)9=9  9=9
ответ x=3;x=1/9