Question

Как решить? (2x^3+1)/(2x+1)+(3x^2)/(3x-1)=15x^3/(6x^2+x-1)

Answer 1

$\frac{2x^3+1}{2x+1} + \frac{3x^2}{3x-1} = \frac{15x^3}{6x^2+x-1}$
разложим $6x^2+x-1$ на множители:
$6x^2+x-1=0 \\D=1+24=25=5^2 \\x_1= \frac{-1+5}{12} = \frac{4}{12}= \frac{1}{3} \\x_2= \frac{-6}{12}=-0,5 \\ 6x^2+x-1=6(x-\frac{1}{3} )(x+0,5)=(3x-1)(2x+1)$
теперь уравнение примет вид:
$\frac{2x^3+1}{2x+1} + \frac{3x^2}{3x-1} = \frac{15x^3}{(3x-1)(2x+1)}$
одз:
$2x+1 \neq 0 \\x \neq -0,5 \\3x-1 \neq 0 \\x \neq \frac{1}{3}$
умножаем все уравнение на (3x-1)(2x+1)
$(3x-1)(2x^3+1)+3x^2(2x+1)=15x^3 \\6x^4+3x-2x^3-1+6x^3+3x^2=15x^3 \\6x^4+3x+4x^3+3x^2 -1=15x^3 \\6x^4-11x^3+3x^2+3x-1=0$
решаем это уравнение 4 степени:
если сумма коэффициентов уравнения равна 0, то x=1 является корнем этого уравнения
6-11+3+3-1=12-12=0
x1=1
тогда уравнение можно представить как:
$(x-1)(6x^3+ax^2+bx+c)=6x^4+ax^3+bx^2+cx-6x^3-ax^2-bx \\-c=6x^4+x^3(a-6)+x^2(b-a)+x(c-b)-c$
тогда получим, что:
$6x^4-11x^3+3x^2+3x-1= \\=6x^4+x^3(a-6)+x^2(b-a)+x(c-b)-c$
тогда можно составить систему:
a-6=-11
b-a=3
c-b=3
c=1
решаем:
a=6-11=-5
c=1
b=a+3=-5+3=-2
получим:
$(x-1)(6x^3-5x^2-2x+1)=0$
теперь находим корни $6x^3-5x^2-2x+1$
6-5-2+1=7-7=0, значит x=1 - корень этого уравнения, и его можно представить как:
$(x-1)(6x^2+ax+b)=6x^3+ax^2+bx-6x^2-ax-b= \\=6x^3+x^2(a-6)+x(b-a)-b$
тогда получим, что:
$6x^3-5x^2-2x+1=6x^3+x^2(a-6)+x(b-a)-b$
можно составить систему:
a-6=-5
b-a=-2
-b=1
решаем:
b=-1
a=6-5=1
получим:
$6x^3-5x^2-2x+1=(x-1)(6x^2+x-1)$
в итоге:
$(x-1)(x-1)(6x^2+x-1)=0 \\(x-1)^2(6x^2+x-1)=0 \\x_1=1 \\6x^2+x-1=0$
корни этого квадратного трехчлена не подходят по одз, поэтому уравнение имеет только 1 корень:  x=1
ответ: x=1