Question

Решите неравенство f(1-2x)≤0, если известно, что (x^2+3x+2)^5 f(x)= 3x+√2+√5

Answer 1

Функция нам задана:
$f(x)= \frac{(x^2+3x+2)^5}{3x+ \sqrt{2} + \sqrt{5} }$
Вместо х подставляем 1-2х
$f(1-2x)= \frac{((1-2x)^2+3(1-2x)+2)^5}{3(1-2x)+ \sqrt{2} + \sqrt{5} } = \frac{(1-4x+4x^2+3-6x+2)^5}{3-6x+ \sqrt{2} + \sqrt{5}} = \\ = \frac{4x^2-10x+6}{-6x+3+ \sqrt{2} + \sqrt{5}}$
И решаем неравенство
$\frac{4x^2-10x+6}{-6x+3+ \sqrt{2} + \sqrt{5}} \leq 0 \\ \frac{2x^2-5x+3}{-6x+3+ \sqrt{2} + \sqrt{5}} \leq 0$
Так как дробь меньше 0, то у числителя и знаменателя разные знаки.
1)
{ 2x^2 - 5x + 3 ≤ 0
{ -6x + 3 + √2 + √5 > 0
Раскладываем на множители 1 неравенство
{ (x - 1)(2x - 3) ≤ 0
{ 6x < 3 + √2 + √5
Получаем
{ x ∈ [1; 3/2]
{ x < (3 + √2 + √5)/6 ≈ 1,108 < 3/2
Решение: x1 ∈[1; (3 + √2 + √5)/6)

2)
{ 2x^2 - 5x + 3 ≥ 0
{ -6x + 3 + √2 + √5 < 0
Решаем точно также
{ (x - 1)(2x - 3) ≥ 0
{ 6x > 3 + √2 + √5
Получаем
{ x ∈ (-oo; 1] U [3/2; +oo)
{ x > (3 + √2 + √5)/6 ≈ 1,108 < 3/2
Решение: x ∈ [3/2; +oo)
ответ: x ∈ [1; (3 + √2 + √5)/6) U [3/2; +oo)