Question

2x^4-7x^3+9x^2-7x+2=0 решить уравнение

Answer 1

$x=0$ не является корнем данного уравнения, поэтому можно разделить обе части уравнения на $x^2$:

$2x^4-7x^3+9x^2-7x+2=0 \\ \\ \dfrac{2x^4-7x^3+9x^2-7x+2}{x^2} = \dfrac{0}{x^2} \\ \\ \dfrac{2x^4}{x^2} - \dfrac{7x^3}{x^2} + \dfrac{9x^2}{x^2} - \dfrac{7x}{x^2}+ \dfrac{2}{x^2} =0 \\ \\ 2x^2-7x+9-7\cdot \dfrac{1}{x} +2\cdot \dfrac{1}{x^2} =0 \\ \\ 2\cdot\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)-7\cdot\left(1+\dfrac{1}{x}\right)+9=0$

Пусть $x+\dfrac{1}{x}=t.$
Тогда $\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2=t^2 \ \Leftrightarrow \ x^2+2+\dfrac{1}{x^2}=t^2$ , откуда $x^2+\dfrac{1}{x^2}=t^2-2.$

Заменяем:
$2\cdot(t^2-2)-7\cdot t+9=0 \\ 2t^2-4-7t+9=0 \\ 2t^2-7t+5=0 \\ t=\dfrac{7\pm3}{4}=2,5 \ ; \ 1.$

Возвращаемся к замене:
$x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{5}{2} \\ 2x^2-5x+2=0 \\ x_1=2 \ , \ x_2= \dfrac{1}{2} .$
или
$x+\dfrac{1}{x}=1 \\ x^2-x+1=0$
У последнего уравнения нет действительных корней.