Даны уравнения прямых:
(x - 5)/2 =(y - 1)/1 = (z - 6)/1 и (x - 4)/3 = (y - 2)/1 = (z - 3)/1 .
1) Перепишем уравнения первой прямой в параметрической форме:
x = 2t + 5,
y = 1t + 1,
z = 1t + 6.
Примем точку Н1 как точку пересечения первой заданной прямой и общего перпендикуляра.
Её координатам соответствует вполне конкретное значение параметра, обозначим его через to . Тогда координаты точки запишутся в виде:
x = 2to + 5,
y = 1to + 1,
z = 1to + 6.
Аналогично для точки Н2 получим
x = 3so + 4,
y = 1so + 2,
z = 1so + 3.
2) Находим вектор Н1Н2 по двум критериям.
Н1Н2 = p как результат векторного произведения направляющих векторов заданных прямых (ведь он перпендикулярен обеим прямым).
i j k | i j
2 1 1 | 2 1
3 1 1 | 3 1 = 1i + 3j + 2k -2j - 1i - 3k = 0i + 1j - 1k.
p = (0; 1; -1).
С другой стороны, вектор Н1Н2 проходит через 2 точки, координаты которых заданы в пункте 1.
Н1Н2: (3so + 4 - 2to - 5; 1so + 2 - 1to - 1; 1so + 3 - 1to - 6).
Поскольку направляющие векторы коллинеарны, то один вектор линейно выражается через другой с некоторым коэффициентом пропорциональности «лямбда»:
(3so - 2to - 1; 1so - 1to + 1; 1so - 1to - 3) = λ(0; 1; -1).
Или покоординатно:
3so - 2to - 1 = λ*0;
1so - 1to + 1 = λ*1;
1so - 1to - 3 = λ*(-1)
Получилась самая, что ни на есть обычная система линейных уравнений с тремя неизвестными , которая стандартно разрешима, например, методом Крамера.
В данном случае можно применить метод сложения.
Вычтем из второго уравнения третье: 2λ = 4, откуда λ = 4/2 = 2.
3so - 2to - 1 = λ*0; 3so - 2to = 1;
1so - 1to + 1 = λ*1; 2so - 2to = 2,
вычтем из первого уравнения второе: so = -1, тогда to = 1 - 3so = -2.
Отсюда находим координаты точек:
Н1: x = 2*(-2) + 5 = 1,
y = 1*(-2) + 1 = -1,
z = 1*(-2)+ 6 = 4 Точка Н1(1; -1; 4).
Н2: x = 3*(-1)+ 4 = 1,
y = 1*(-1) + 2 = 1,
z = 1*(-1)+ 3 = 2. Точка Н2(1; 1; 2).
Вектор Н1Н2 = (0; 2; -2) и его длина √(0²+ 2² + (-2)²) = √8 = 2√2.
