Question

Надо методом матиматических индукции докажите что для всех научных чисел 7^n-6×2^n на 5

Answer 1

Базис индукции. Подставим n=1, имеем 5 кратно 5 - истинно

Предположим, что и при n=k выражение $\bigg(7^k-6\cdot 2^k\bigg)$ кратно 5.

Индукционный переход: n=k+1

$7^{k+1}-6\cdot2^{k+1}=7\cdot7^k-12\cdot 2^k=7^k-6\cdot 2^k+6\cdot7^k-6\cdot 2^k=\\ \\ \\ =\bigg(7^k-6\cdot 2^k\bigg)+6\bigg(7^k-6\cdot2^k\bigg)+30\cdot 2^k$

Слагаемые $\bigg(7^k-6\cdot 2^k\bigg)$ и $6\bigg(7^k-6\cdot 2^k\bigg)$ кратно 5 по второму пункту предположения и $30\cdot 2^k$ тоже кратно 5, очевидно.

Следовательно, исходное выражение кратно 5 для всех натуральных n