Відповідь:
Для спрощення цього виразу скористаємося тригонометричними тотожностями:
sin²x = 1 - cos²x
sin2x = 2sinx*cosx
tgx = sinx/cosx
Після застосування цих тотожностей отримаємо:
(1 - 2(1 - cos²x) / (1 + 2sinx*cosx)) - (1 - (sinx/cosx) / (1 + (sinx/cosx)))
Спрощуємо це подальше:
(1 - 2 + 2cos²x) / (1 + 2sinx*cosx) - (1 - sinx/cosx) / (1 + sinx/cosx)
(-1 + 2cos²x) / (1 + 2sinx*cosx) - (cosx - sinx) / (cosx + sinx)
Тепер застосуємо різницю квадратів для спрощення чисельника дробу:
(2cos²x - 1) / (1 + 2sinx*cosx) - (cosx - sinx) / (cosx + sinx)
Далі скористаємося спрощенням дробу зі синусами і косинусами:
((2cosx + 1)(cosx - 1)) / (1 + 2sinx*cosx) - (cosx - sinx) / (cosx + sinx)
Тепер можемо об'єднати дроби з однаковими знаменниками:
((2cosx + 1)(cosx - 1) - (cosx - sinx)(1 + 2sinxcosx)) / (cosx + sinx)(1 + 2sinxcosx)
Отримали спрощений вираз чисельника, залишилось просто зберегти знаменник:
(2cos³x - 2cosx - cosx + sinx + 2sin²xcosx - sin²x + sin²xcosx) / (cosx + sinx)(1 + 2sinx*cosx)
На цьому етапі можливо провести додаткову спрощення, але це залежить від конкретних вимог до виразу.
Пояснення:
Позначимо чисельник початкового дробу як x, тоді знаменник буде x + 3, згідно умови задачі.
За умовою, якщо до чисельника додати 8, а від знаменника відняти 1, отримаємо обернений дріб:
1 / (x + 3 - 1) = 1 / (x + 2)
Тепер ми можемо записати рівняння на основі даної інформації:
x + 8 = 1 / (x + 2)
Щоб розв'язати це рівняння, спочатку помножимо обидві його
сторони на (x + 2), щоб позбавитися від знаменника:
(x + 8)(x + 2) = 1
Розкриємо дужки:
x^2 + 10x + 16 = 1
Перенесемо всі члени в одну сторону рівняння:
x^2 + 10x + 16 - 1 = 0
x^2 + 10x + 15 = 0
Тепер ми маємо квадратне рівняння. Його можна розв'язати шляхом факторизації:
(x + 5)(x + 3) = 0
Таким чином, ми отримали два можливі значення для x:
x + 5 = 0 або x + 3 = 0
Отже, розв'язками є:
x = -5 або x = -3
Тому початковими дробами будуть:
-5/(-5 + 3) = -5/(-2) = 5/2
та
-3/(-3 + 3) = -3/0 (розділення на нуль неможливе)
Таким чином, початковий дріб -5/2 (або 5/2 в абсолютній величині) буде розв'язком даної задачі.