Question

Четыре числа прогрессию если от них соответственно отнять 2,1,7 и 27 тогда полученные числа дадут арифметическую прогрессию какие эти числа

Answer 1

Если данные четыре числа дают геометрическую прогрессию, тогда их можно представить соответственно так: 
 b₁ ;  b₁q ;  b₁q² ; b₁q³

Вычтем соответственно числа 2; 1; 7; 27 и получим первые четыре числа арифметической прогрессии: 

a₁ = b₁ - 2
a₂ = b₁*q - 1 

a₃ = b₁*q² - 7 

a₄ = b₁*q³ - 27

По свойствам арифметической прогрессии каждый её член, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних членов.

Применим это свойство для второго члена а₂

$a_{2}= \frac{a_1+a_3}{2}$

а₁+а₃=2а₂

Подставим вместо а₁ ;а₂ ; а₃  их зачения.
b₁ - 2 + b₁q² - 7 = 2*(b₁q -1 )

b₁ - 2*b₁·q + b₁*q² = 2 + 7- 2 

b₁·(1-2q+q²) = 7 

b₁*(1-q)² = 7 

b₁ = 7/(1-q)²

Умножим обе части на q.

b₁q = 7q/(1-q)²   (это первое уравнение)

Теперь применим это свойство для третьего члена а₃

$a_3= \frac{a_2+a_4}{2}$

а₂+а₄=2*а₃ 

b₁*q - 1 + b₁*q³ - 27 = 2*(b₁q² -7) 

b₁q - 2*b₁q² + b₁q³ = 1+27-14 

b₁q*(1-q)² = 14 

b₁q = 14/(1-q)²  (второе уравнение)

В первом и во втором уравнениях левые части равны, значит, равны их правые части
7q/(1-q)² = 14/(1-q)² 

q = 2

b₁  = 7/(1-q)²

b₁= 7/(1-2)² 

b₁= 7/1

b₁ = 7

При b₁ = 7  и   q = 2  легко найти первые четыре числа, которые представляют геометрическую прогрессию.

b₁ = 7
b₂ = b₁*q     =>       b₂ = 7*2     =>     b₂ = 14 

b₃ = b₁*q²     =>       b₃ = 7*4     =>    b₃ = 28 

b₄ = b₁*q³     =>       b₄ = 7*8      =>   b₄ = 56

 7; 14; 28; 56 - искомые числа.

Проверим дадут ли они арифметическую прогрессию если от них соответственно отнять 2,1,7 и 27.

a₁ = b₁ - 2       =>     a₁ = 7 - 2      =>       a₁ = 5
a₂ = b₂ - 1        =>    a₂ = 14-1       =>      a₂ = 13

a₃ = b₃ - 7         =>    a₃ = 28 - 7      =>     a₃ = 21

a₄ = b₄ - 27          =>    a₄ = 56 - 27    =>   a₄ = 29

 Числа 5;  13;  21;  29 действительно дают арифметическую прогрессию. 

ответ: 7;  14;  28;  56 - данные числа