Расстояние от т. М до т. А R1=√[(х+7)²+(y-1)²], до т. В - R2=√[(x+5)²+y²]. Сумма этих расстояний R=R1+R2=√[(х+7)²+(y-1)²]+√[(x+5)²+y²]. Из уравнения 2*x-y-5=0 находим y=2*x-5. Подставляя это выражение в формулу для R, получаем функцию одной переменной R(x)= √(5*x²-10*x+85)+√(5*x²-10*x+50)=√5*[√(x²-2*x+17)+√(x²-2*x+10). Выражения x²-2*x+17=(x-1)²+16 и x²-2*x+10=(x-1)²+9 принимают наименьшие значения при x=1; эти значения соответственно равны 16 и 9. Значит, точка М имеет абсциссу x=1. Из уравнения y=2*x-5 находим y=-3. ответ: т. М(1,-3).
Возьмем производную:
у' = cosx + 5sinx
y' = 0
cosx + 5sinx = 0 | :cosx
1 + 5tgx = 0
tgx = -1/5
x = arctg(-1/5) + πn
Минимум и максимум находятся в точках arctg(-1/5) и arctg(-1/5) + π
Вычисляем:
sin(arctg(-1/5)) - 5cos(arctg(-1/5)) = -1/√26 - 25/√26 = - 26/√26 = -√26
sin(arctg(-1/5) + π) - 5cos(arctg(-1/5) + π) = 1/√26 + 25/√26 = 26/√26 = √26
ответ: Е(у) = [-√26; √26]
Немного подсказок по нахождению значений:
√26 находится по теореме Пифагора из треугольника с катетами 1 и 5: 1² + 5² = (√26)²