Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), касательной к этому графику в точке xо и прямой x=0. а) y=0,5x(в квадрате)+2 xо= - 2 б) y=x (в кубе) + 2 xо=1 фигура расположена в правой полуплоскости

Answer 1

Y=0,5x²+2   x=0    x₀=-2
yk=y(x₀)+y`(x₀)*(x-x₀)
y(-2)=0,5*(-2)²+2=0,5*4+2=2+2=4
y`(-2)=0,5*2*x=x=-2  ⇒
yk=4-2*(x-(-2)=4-2*(x+2)=4-2x-4=-2x
0,5x²+2=-2x
0,5x²+2x+2=0  |××2
x²+4x+4=0
(x+2)²=0
x+2=0
x=-2
S=₋₂∫⁰(0,5x²+2-(-2x))dx=₋₂∫⁰((1/2)x²+2+2x)dx=(x³/6+x²+2x)  ₋₂|⁰=
=0-((-2)³/6+(-2)²+2*(-2))=-(-8/6+4-4)=-(-4/3)=4/3.
ответ: S≈1,333 кв. ед. 

y=x³+2   x=0     x₀=1
y(1)=1³+2=1+2=3
y`(1)=3x²=3*1²=3  ⇒
yk=3+3*(x-1)=3+3x-3=3x
yk=3x
x³+2=3x
x³-3x+2=0
x³-x²+x²-3x+2=0
x²(x-1)+(x-1)(x-2)=0
(x-1)(x²+x-2)=0
x-1=0
x₁=1 ∉ по условию.
x²+x-2=0   D=9   √√D=3
x₂=-2 ∈      x₃=1 ∉∉ по условию.    ⇒
S=₋₂∫⁰(x³+2-3x)=(x⁴/4-3x²/2+2x)₋₂|⁰=(0-((-2)⁴/4-3*(-2)²/2+2*(-2)=
=-(16/4-12/2-4)=-(4-6-4)=-(-6)=6.
ответ: S=6 кв. ед.