Для начала вспомним все три признака подобности треугольников:
I признак подобия треугольников - если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
II признак подобия треугольников - если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
III признак подобия треугольников - если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.
Задача 1
∠ABC = ∠DEF = 90°, ∠ACB = ∠DFE = 55°, значит за первым признаком подобности треугольников ΔABC ~ ΔDEF.
Задача 2
Катеты - это прямые (в прямоугольном треугольнике), которые образуют прямой угол. Гипотенуза - это прямая, которая соединяет два катета. Значит, CV и VN - катеты, а CN - гипотенуза.
Задача 3
В прямоугольном ΔABC катеты AB и BC (AB = 5.9 см, BC = 5 см) образуют угол 90°.
В прямоугольном ΔDEF катеты DE и EF (DE = 5.9 см, EF = 5 см) образуют угол 90°.
Сделаем пропорцию:
Значит эти треугольники подобные по второму признаку подобия треугольников
II признак подобия треугольников простыми словами - если одна сторона первого треугольника в k раз больше соответственной стороны второго, и вторая сторона первого треугольника тоже в k раз больше соответственной стороны второго, и эти две стороны в своих треугольниках создают углы, которые равны между собой, то эти треугольники подобны.
Если эти треугольники подобны, то все их углы равны между собой. Благодаря этому нам без разницы где находится меньшие углы: меньший угол ΔDEF будет находится там же, где и меньший угол ΔABC. Значит, меньший угол ΔDEF = меньшему углу ΔABC = 42°
Произвести полное исследование функции f(x) =x³ / (x² - 1) и построить график.
1. ООФ: x ∈ ( -∞ ; -1 ) ∪ ( -1 ; 1) ∪ ( 1 ; ∞). x² - 1 ≠ 0 ; x ≠ ±1 .
вертикальные асимптоты x = -1 и x =1
2. f( -x) = (- x)³ / ( (-x)² -1 ) = - x³ / (x² - 1) = f(x) → нечетная функция
Следовательно , график функции симметричен относительно начала координат (центральная симметрия) , достаточно сначало построить график функции x∈ ( 0 ; ∞) ,а затем дополнить симм. x ( - ∞; 0)
3. Точки пересечения с осями координат
График функции проходит через начало координат: ( 0 ; 0 ) 4. Экстремумы функции
f '(x) = ( 3x²*(x² - 1) - x³*2x ) / (x² - 1)² = x²*(x² - 3) ) / (x² - 1)²
= (x+√3)*x²*(x -√3) ) / (x² - 1)² ||
f '(x) = 0 ⇒x = - √3 ; x=0 , x = √3 → критические (стационарные) точки ,
из них x = - √3 и x = √3 точки экстремумов
+ + + + + + + [- √3] - - - - - - - [0] - - - - - - - [√3] + + + + + + +
x = -√3 _точка максимума ; x = √3 _точка минимума
(точки локальных максимумов и минимумов )
max f(x) = - 3√3 /2 ≈ -2,6 ; min f(x) = 3√3 /2 ≈ 2,6
5. Точки перегиба
f '' (x) = ( f'(x) ) ' = ( x²*(x² - 3) ) / (x² - 1)² ) ' =
( (4x³ -6x)(x² - 1)² -x²*(x² - 3)*2(x² - 1)2x ) / (x² - 1)^4 =
2x ( ( 2x² -3)(x² - 1) -2x²*(x² - 3) ) / (x² - 1)³ =2x(x² +3) / (x² - 1)³
x = 0 точка перегиба
6. Наклонные асимптоты
k = Lim f(x) / x = Lim x³ / x(x² - 1) Lim 1 / (1 - 1/x²) = 1
x→∞
b = Lim( f(x) - k*x ) Lim( f(x) - k*x ) = Lim (x³ / (x² - 1) - 1*x ) =
x→∞
Lim (x / (x² - 1) = 0
x→∞
y = x
- - - - - - - - - - -
P.S. интервалы знакопостоянства функции
f(x) > 0 ; x³ / (x² - 1) > 0⇔ x³ * (x² - 1) > 0 ⇔ (x + 1)x³(x -1) > 0
- - - - - - - ( -1) + + + + + + + (0) - - - - - - - (1) + + + + + + +
f(x) > 0 ⇒ x ∈ ( -1 ; 0) ∪ (1 ; ∞) ;
f(x) < 0 ⇒ x ∈ ( ∞ ;-1 ) ∪ (0 ; 1 ) .
- - -
√3 ≈1,73 ; 3√3/2 ≈ 2,6
график во вложении
1,5
Объяснение:
Подробности в приложении.