Дано функцію f(x) = (x^2-8x)/(x+1)
Знаходимо найбільше і найменше значення даної функції на проміжку [-5,-2].
f(-5) = ((-5)^2-8*(-5))/(-5+1) = 65/(-4) = -16,25.
f(-2) = ((-2)^2-8*(-2))/(-2+1) = 20/(-1) = -20.
Визначаємо точки екстремуму даної функції.
Знаходимо первісну:
f'(x) = (2x-8)*(x+1) - 1*(x^2-8x))/((x+1)^2) = (x^2 + 2x - 8)/((x + 1)^2).
Прирівнюємо їі до 0 (достатьно чисельник):
x^2 + 2x - 8 = 0, Д = 4+4*8 = 36, х1 = (-2 - 6)/2 = -4, х2 = (-2 + 6)/2 = 2.
Знаходимо знаки первісної:
х = -5 -4 1 2 3
y' = 0,4375 0 -1,25 0 0,4375 .
У точці х = -4 маємо максимум функції,
f(-4) = ((-4)^2-8*(-4))/(-4+1) = 48/(-3) = -16.
Відповідь:
- найбільше значення даної функції на проміжку [-5,-2] дорівнює -16,
- найменше значення даної функції на проміжку [-5,-2] дорівнює -20,
- максимум функції у точці х = -4,
- мінімум функції у точці х = 2.
43 (л) жидкости в первой ёмкости.
41 (л) жидкости во 2 ёмкости.
Объяснение:
В первой ёмкости на 2 л жидкости больше, чем во второй.
Если из первой ёмкости перелить во вторую 15 л жидкости, то во второй ёмкости станет в 2 раза больше, чем останется в первой.
Сколько литров жидкости в каждой ёмкости?
х - литров жидкости во 2 ёмкости.
х+2 - литров жидкости в первой ёмкости.
х+15 - литров жидкости стало бы после переливания во 2 ёмкости.
(х+2)-15 - литров жидкости стало бы после переливания в 1 ёмкости.
Согласно условию задачи, во второй ёмкости после переливания станет жидкости в 2 раза больше, уравнение:
2*[x+2)-15]=х+15
2(х-13)=х+15
2х-26=х+15
2х-х=15+26
х=41 (л) жидкости во 2 ёмкости.
41+2=43 (л) жидкости в первой ёмкости.
Проверка:
43-15=28 (л) стало бы жидкости в первой ёмкости после переливания.
41+15=56 (л) стало бы жидкости во второй ёмкости после переливания.
56 : 28 = 2 (раза), верно.
E(y) -- это область значений функции.
В данном примере проще оценить выражение(нужно понять, когда функция принимает минимальное и максимальное значение):
Меняется в этой функции только sin. sin(2-3x) принимает значения от -1 до 1, то есть минимальное значение у функции будет при sin(2-3x) = 1, а максимальное при sin(2-3x) = -1:
1. 6 - 4sin(2-3x) = 6 - 4*(-1) = 10
2. 6 - 4sin(2-3x) = 6 - 4*1 = 2
E(y) = [2; 10]
Есть более универсальный Оценить область значений можно с производной.
С её можно найти точки максимума и минимума, а после и сами значения функции в этих точках.
А если функция претерпевает разрыв (гипербола например), то производная найти "подозрительную точку". Понять, стремиться ли в этой точке функция к бесконечности можно с пределов (но они в школе изучаются в старших классах обычно). Поэтому опираются чаще на свойства функции (на примере гиперболы -- всегда ветви уходят вверх, к бесконечности) или стараются оценить подставляя некоторые значения х(но подставлять значения наугад -- не самый эффективный метод)