Для решения данной задачи нам необходимо знать определение оптической силы линзы (D) и увеличения (β) для линзы.
Оптическая сила линзы (D) определяется как обратное значение ее фокусного расстояния (f):
D = 1/f
где D измеряется в диоптриях (дптр), а f - фокусное расстояние линзы.
Увеличение (β) определяется как отношение высоты изображения (h`) к высоте предмета (h):
β = h`/h
Теперь приступим к решению задачи:
1. Нам дано, что оптическая сила линзы (D) равна 40 дптр. Используя определение оптической силы линзы, найдем фокусное расстояние линзы (f):
D = 1/f
40 дптр = 1/f
Перенесем переменную f в другую сторону:
f = 1/40 дптр
f = 0.025 m
Таким образом, фокусное расстояние линзы равно 0.025 метра или 25 мм.
2. Далее, нам дано, что увеличение (β) для линзы равно 5. Воспользуемся формулой для вычисления увеличения:
β = h`/h
где h` - высота изображения, h - высота предмета.
Обозначим расстояние от предмета до линзы как p и расстояние от изображения до линзы как q.
Тогда, используя формулу тонкой линзы:
1/f = 1/p + 1/q
Мы знаем, что p и q - положительные величины, так как предмет и изображение находятся на одной стороне линзы.
3. Для определения p и q воспользуемся геометрическими соображениями. Рассмотрим следующую схему:
|---------D---------|
|---------------------------------|
F
|----------------------|
| | | |
| | | |
O P Q | h ` h
предмет p линза q | | |
| | |
|_________________|
где D - линза, F - фокус линзы.
O - предмет, P - точка, где предмет пересекает оптическую ось, Q - точка, где изображение пересекает оптическую ось.
Мы хотим определить p (расстояние от предмета до линзы) и q (расстояние от изображения до линзы).
4. Заметим, что увеличение (β) равно отношению отрицательного изображения QF к положительному предмету PF:
β = -QF / PF
так как QF и PF находятся в разных направлениях. Но, в нашей задаче предмет находится на одной стороне линзы, т.е. PF положительно и равно p.
С учетом этого, мы можем выразить q через p (используя определение увеличения):
β = -q/p
тогда
q = -β * p
= -5 * p
5. Теперь мы можем записать формулу тонкой линзы для нахождения фокусного расстояния линзы (f):
1/f = 1/p + 1/q
Подставим выражение для q:
1/f = 1/p + 1/(-5 * p)
Сведем дроби к общему знаменателю:
1/f = (-1 - 5)/5p
1/f = -6/5p
Теперь найдем f:
f = 5p / -6
6. Найдем p:
40 дптр = 1/f
40 дптр = -6 / 5p
Переведем диоптрии в метры:
40 дптр = -6 / (0.025 * 5p)
40 = -6 / (0.125p)
p = -6 * 0.125 / 40
p = -0.01875 m
7. Теперь найдем q:
q = -5 * p
= -5 * (-0.01875)
= 0.09375 m
Таким образом, расстояние от предмета до линзы равно 0.01875 метра (или 18.75 мм), а расстояние от изображения до линзы равно 0.09375 метра (или 93.75 мм).
Оптическая сила линзы (D) определяется как обратное значение ее фокусного расстояния (f):
D = 1/f
где D измеряется в диоптриях (дптр), а f - фокусное расстояние линзы.
Увеличение (β) определяется как отношение высоты изображения (h`) к высоте предмета (h):
β = h`/h
Теперь приступим к решению задачи:
1. Нам дано, что оптическая сила линзы (D) равна 40 дптр. Используя определение оптической силы линзы, найдем фокусное расстояние линзы (f):
D = 1/f
40 дптр = 1/f
Перенесем переменную f в другую сторону:
f = 1/40 дптр
f = 0.025 m
Таким образом, фокусное расстояние линзы равно 0.025 метра или 25 мм.
2. Далее, нам дано, что увеличение (β) для линзы равно 5. Воспользуемся формулой для вычисления увеличения:
β = h`/h
где h` - высота изображения, h - высота предмета.
Обозначим расстояние от предмета до линзы как p и расстояние от изображения до линзы как q.
Тогда, используя формулу тонкой линзы:
1/f = 1/p + 1/q
Мы знаем, что p и q - положительные величины, так как предмет и изображение находятся на одной стороне линзы.
3. Для определения p и q воспользуемся геометрическими соображениями. Рассмотрим следующую схему:
|---------D---------|
|---------------------------------|
F
|----------------------|
| | | |
| | | |
O P Q | h ` h
предмет p линза q | | |
| | |
|_________________|
где D - линза, F - фокус линзы.
O - предмет, P - точка, где предмет пересекает оптическую ось, Q - точка, где изображение пересекает оптическую ось.
Мы хотим определить p (расстояние от предмета до линзы) и q (расстояние от изображения до линзы).
4. Заметим, что увеличение (β) равно отношению отрицательного изображения QF к положительному предмету PF:
β = -QF / PF
так как QF и PF находятся в разных направлениях. Но, в нашей задаче предмет находится на одной стороне линзы, т.е. PF положительно и равно p.
С учетом этого, мы можем выразить q через p (используя определение увеличения):
β = -q/p
тогда
q = -β * p
= -5 * p
5. Теперь мы можем записать формулу тонкой линзы для нахождения фокусного расстояния линзы (f):
1/f = 1/p + 1/q
Подставим выражение для q:
1/f = 1/p + 1/(-5 * p)
Сведем дроби к общему знаменателю:
1/f = (-1 - 5)/5p
1/f = -6/5p
Теперь найдем f:
f = 5p / -6
6. Найдем p:
40 дптр = 1/f
40 дптр = -6 / 5p
Переведем диоптрии в метры:
40 дптр = -6 / (0.025 * 5p)
40 = -6 / (0.125p)
p = -6 * 0.125 / 40
p = -0.01875 m
7. Теперь найдем q:
q = -5 * p
= -5 * (-0.01875)
= 0.09375 m
Таким образом, расстояние от предмета до линзы равно 0.01875 метра (или 18.75 мм), а расстояние от изображения до линзы равно 0.09375 метра (или 93.75 мм).