Однородный шар скатывается с наклонной плоскости с углом наклона α. коэффициент трения покоя на плоскости равен µ. коэффициент трения качения равен 0. определите предельный угол α, при котором шар может скатываться без проскальзывания
Движение шара сложное. Оно оприсывается движением центра шара вниз по наклонной плоскости и вращением шара вокруг центра:
Пусть m - масса шара, R - радиус шара, а - ускорение центра шара.
Момент инерции шара относительно оси, проходящей через его центр:Jo = 0.4mR²
На шар действует сила тяжести mg, приложенная к центру шара и направленная вертикально вниз, N - реакция плоскости, приложенная в точке контакта и направленная перпендикулярно плоскости вверх и сила трения сцепления Fтр, приложенная к точке контакта и направленная вдоль плоскости в сторону, противоположную движению.
Уравнения движения:
ma = mg·sinα - Fтр (1)
Jo ·a/R = Fтр·R (2)
Из (2) a = Fтр·R²/Jo
или a = Fтр·R²/0,4mR²
или
a = 2,5Fтр/m (3)
Подставим (3) в (1)
m2,5Fтр/m = mg·sinα - Fтр
или
2,5Fтр = mg·sinα - Fтр
откуда
Fтр = mg·sinα/3,5
Проскальзывания не будет, если сила трения сцепления не меньше силы трения скольжения, т.е Fтр ≤ µN
Сила тока определяется законом Ома I = U/R, а зависимость сопротивления проводника от его длины и площади поперечного сечения R = ro*L/S. Получаем I = U*S / ro*L, U - напряжение, S - площадь поперечного сечения, ro - удельное сопротивление, L - длина проводника. Записываем для первого и второго случая: I1 = U1*S1 / ro*L I2 = U2*S2 / ro*L Находим отношение I2/I1 = U2*S2/U1*S1 = (U2/U1) * (S2/S1), подставляем значения и решаем, U2/U1 = 2, S2/S1 = 0,5 находим как изменится ток: I2/I1 = 2*0,5 = 1 - ток не изменится.
Движение шара сложное. Оно оприсывается движением центра шара вниз по наклонной плоскости и вращением шара вокруг центра:
Пусть m - масса шара, R - радиус шара, а - ускорение центра шара.
Момент инерции шара относительно оси, проходящей через его центр:Jo = 0.4mR²
На шар действует сила тяжести mg, приложенная к центру шара и направленная вертикально вниз, N - реакция плоскости, приложенная в точке контакта и направленная перпендикулярно плоскости вверх и сила трения сцепления Fтр, приложенная к точке контакта и направленная вдоль плоскости в сторону, противоположную движению.
Уравнения движения:
ma = mg·sinα - Fтр (1)
Jo ·a/R = Fтр·R (2)
Из (2) a = Fтр·R²/Jo
или a = Fтр·R²/0,4mR²
или
a = 2,5Fтр/m (3)
Подставим (3) в (1)
m2,5Fтр/m = mg·sinα - Fтр
или
2,5Fтр = mg·sinα - Fтр
откуда
Fтр = mg·sinα/3,5
Проскальзывания не будет, если сила трения сцепления не меньше силы трения скольжения, т.е Fтр ≤ µN
N = mg·cosα
mg·sinα/3,5 ≤ µ·mg·cosα
tgα ≤ 3.5µ