Question

На сторонах ab, bc, cd, da параллелограмма abcd взяты соответственно точки m, n, k, l, делящие эти стороны в одном и том же отношении (при обходе по часовой стрелке). докажите, что при пересечении прямых an, bk, cl и dm получится параллелограмм, причём его центр совпадает с центром параллелограмма abcd.
решите с рисунком

Answer 1

Доказательство в объяснении.

Объяснение:

1. Треугольники АМD и CKB равны по двум сторонам и углу между ними (AD = BC - противоположные стороны параллелограмма,

AM = CK - равные части (дано) равных отрезков (АВ = CD),

∠А = ∠С - противоположные углы параллелограмма).  =>

∠AMD = ∠CKB (соответственные углы равных треугольников),

∠CKB = ∠ABК (внутренние накрест лежащие углы при параллельных AВ и CD и секущей BK).  =>  ∠AMD = ∠ABF (соответственные углы при прямых ВК и MD и секущей АВ)  =>  BK ‖ MD.

Так же и с треугольниками  ABN и СDL  => AN ‖ CL.

Итак, четырехугольник EFGH - параллелограмм по признаку: противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны.

Что и требовалось доказать.

2. Из равенства треугольников BFN и DHL (по стороне  BN=DL и прилежащим углам - доказано выше) имеем: BF = DH,  =>   FK = MH.  =>   MFKH - ‍ параллелограмм и его диагональ FH проходит через середину диагонали MK. Но MK и AC — ‍ диагонали параллелограмма AMCK и делятся пополам в точке пересечения.‍ Значит отрезок FH ‍ проходит через середину AC, точку О. Так же как и отрезок EG (доказывается аналогично).

Что и требовалось доказать.