Проведена окружность, которая высекает на ab, bc, ac треугольника abc равные отрезки kl, mn, pq. причем точки k, m, p лежат внутри отрезков al, bn, cq соответственно. при этом оказалось, что отрезки lm и np касаются вписанной окружности треугольника abc.
а) доказать, что ab=ac
б) найти: радиус окружности, проходящей через точки k, l, m, n p, q, если угол а равен 84 градусов, qk=1.
а) Доказать, что ab = ac:
1) Рассмотрим треугольник abl. Мы знаем, что отрезок kl равен отрезку bc, значит у нас есть две равные стороны и угол между ними (угол а). Известно, что треугольник abl равнобедренный, а значит его боковые стороны (ab и ac) равны. Таким образом, доказали, что ab = ac.
б) Найти радиус окружности, проходящей через точки k, l, m, n, p, q, если угол а равен 84 градусов, qk = 1:
1) Заметим, что треугольник blm равнобедренный, так как отрезки lm и np касаются вписанной окружности. Значит, отрезок lb равен отрезку lm.
2) Рассмотрим треугольник bqk. Из условия задачи мы знаем, что отрезок qk равен 1. Заметим также, что угол bqk равен углу blm (они оба касаются вписанной окружности). Значит, угол bqk также равен 84 градусам.
3) Используя теорему синусов в треугольнике bqk, мы можем найти длину отрезка qb (выразим ее через радиус окружности):
sin(буква) = противолежащая сторона / гипотенуза
sin(bqk) = qk / qb
sin(84) = 1 / qb
qb = 1 / sin(84)
4) Заметим, что отрезок bq равен отрезку bl (так как треугольники bqk и blm равнобедренные). Значит, qb + bl = ab, или qb + lb = ab.
5) Мы уже нашли значение qb, остается найти значение lb:
lb = ab - qb = ab - 1 / sin(84)
6) Наконец, радиус окружности можно найти как половину отрезка lb, так как этот отрезок является диаметром окружности:
радиус = lb / 2 = (ab - 1 / sin(84)) / 2
Вот и ответ на задачу.