Точка n равноудалена от всех вершин равностороннего треугольника abc со стороной 4см. найти расстояние от точки n до плоскости треугольника, если двугранный угол nabc равен 60°.
Расстояние будет равно 6. Например, возьмите вершину. Тут очевидно, что 6, потому что до двух других сторон расстояние нуль. Возьмите точку пересечения вершин. До каждой стороны будет 1\3 от вершины, итого 1\3*3 = 1, то есть высота. И так дальше. Это называется Теорема Вивиани. Площадь треугольника - это произведение стороны, на высоту, проведенную к этой стороне, деленная на 2. То есть . Если взять любую точку внутри треугольника, то площадь всего треугольника должна быть равна сумме площадей маленьких, которые образуются этой точкой. Назовем высоты маленьких треугольников, как . Тогда то есть , что и требовалось доказать
. Если взять любую точку внутри треугольника, то площадь всего треугольника должна быть равна сумме площадей маленьких, которые образуются этой точкой. Назовем высоты маленьких треугольников, как 
. 
, что и требовалось доказать
k = a₂/a₁
a₁/b₁ = tg(∠A)
a₁ = b₁*tg(∠A)
По Пифагору
AB² = a₁²+b₁² = (b₁*tg(∠A))² + b₁² = b₁²(tg(∠A)² + 1)
AB = b₁√(tg(∠A)² + 1)
Площадь через катеты
S(ABC) = 1/2*a₁*b₁
Площадь через гипотенузу и высоту к ней
S(ABC) = 1/2*АВ*a₂
1/2*a₁*b₁ = 1/2*АВ*a₂
a₂ = a₁*b₁/AB = a₁/√(tg(∠A)² + 1)
k = a₂/a₁ = 1/√(tg(∠A)² + 1) = 1/√((15/8)² + 1) = 1/√(225/64+64/64) = 8/√289 = 8/17
Почти готово :) Коэффициент пропорциональности найден, и радиус вписанной в больший треугольник окружности
r₁ = r₂/k = 160/(8/17) = 20*17 = 340