Высота в прямоугольном треугольнике равна среднему пропорциональному проэкций катетов на гипотенузу. (h = корень с а(с) * b(c) ). Также катет прям треуг равен сред пропорц гипотенузы и его проэкции на гипотенузу, значит проэкция катета равна квадрату катета, разделённого на гипотенузу. (а(с) = а^2/с; b(c) = b^2/c). Квадрат гипотенузы, по теореме Пифагора, равен суме квадратов катетов (9+36=45). Гипотенуза равна трём кореням с пяти. а(с)=9/3 кор с 5 = 3/кс5; b(c)= 36/3кс5= 12/кс5. Следовательно, h^2= 3/кс5 * 12/кс5 = 36/5 = 7,2; h = корень с 7,2 = 2,7.
Пусть О1, О2 и О3 - центры данных нам окружностей, точки А, В и С - точки их касания. Тогда О1А=О1С=2, О2А=О2В=3, О3В=О3С=4. Значит стороны треугольника О1О2О3 равны:5,6 и 7. Тогда площадь этого треугольника по Герону равна: S=√[p*(p-a)(p-b)(p-c)], где р - полупериметр, а,b,с - стороны треугольника. р=(5+6+7)/2=9. S=√(9*4*3*2)=6√6. Заметим, что окружность, описанная вокруг треугольника АВС - это вписанная в треугольник О1О2О3 окружность, так как точки А, В и С окружности принадлежат сторонам О1О2,О2О3 и О3О1 соответственно. Докажем это. Есть формула нахождения длины отрезка от вершины треугольника до точки касания с вписанной окружностью: расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны, равно d=(a+b-c)/2 или d=р-с, где р - полупериметр, с - сторона, противоположная углу треугольника. В нашем случае: О1А=9-7=2, О2А=9-6=3, О3В=9-5=4, следовательно, точки касания вписанной в треугольник АВС окружности совпадают с точками А, В и С касания данных нам окружностей. Радиус вписанной в треугольник окружности равен r=S/p или в нашем случае r=6√6/9=2√6/3. ответ: r=2√6/3.
