Question

Даны векторы m(4;14) и n(-7;k) при каком значении k векторы m и n : 1) коллинеарны, 2) перпендикулярны

Answer 1

Чтобы определить, при каком значении k векторы m и n коллинеарны, нам нужно учесть условие коллинеарности, которое гласит, что если два вектора коллинеарны, то они должны быть параллельны и иметь одинаковое направление или противоположное направление.

Первым шагом в решении задачи мы должны установить условие, при котором векторы m и n коллинеарны. Для этого нужно учесть, что векторы коллинеарны, если они пропорциональны друг другу. То есть вектор m можно записать в виде (4;14) = a * (-7;k), где "a" - коэффициент пропорциональности.

Умножим каждую компоненту вектора (-7;k) на "a". Получим систему уравнений:
-7a = 4,
ka = 14.

Решим первое уравнение относительно "a":
-7a = 4,
a = 4 / -7.

Подставим найденное значение "a" во второе уравнение:
k * (4 / -7) = 14.

Упростим полученное уравнение:
k = 14 * (-7/4),
k = -98/4,
k = -24.5.

Итак, чтобы векторы m(4;14) и n(-7;k) были коллинеарны, значение k должно быть равно -24.5.

Теперь рассмотрим случай, когда векторы m и n перпендикулярны. Для этого нам нужно учесть условие перпендикулярности, которое гласит, что если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.

Скалярное произведение векторов m и n можно найти следующим образом: m * n = (4 * -7) + (14 * k) = -28 + 14k.

Теперь приравняем полученное скалярное произведение к нулю и решим уравнение:
-28 + 14k = 0.

Добавим 28 к обеим частям уравнения:
14k = 28.

Разделим обе части уравнения на 14:
k = 28 / 14,
k = 2.

Таким образом, чтобы векторы m(4;14) и n(-7;k) были перпендикулярны, значение k должно быть равно 2.

В итоге, после решения задачи мы получили:
1) Векторы m(4;14) и n(-7;k) коллинеарны при значении k = -24.5.
2) Векторы m(4;14) и n(-7;k) перпендикулярны при значении k = 2.