Плоскость α, параллельная стороне ВС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и АС в точках M и N соответственно. Найдите длину отрезка ВС, если МN равен 6 см, а АМ:МВ = 3:5. а) 16 см; б) 4,8 см; в) 12 см; г) другой ответ.
Как известно, медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника (у них общая высота и равные основания). Площадь BAK равна 3/5 площади BAM (у них общая высота, а сторона BK по условию относится к стороне BM как 3/5).
Чтобы узнать, какую часть площади треугольника MCB составляет площадь четырехугольника KDCM, найдем, какую часть площади треугольника MCB составляет площадь треугольника DBK. Для этого воспользуемся теоремой Менелая, применив ее к треугольнику CBM и прямой DK:
Центральный угол, опирающийся на дугу, отсекаемую хордой (стороной сечения, равную 60°, равен градусной мере этой дуги. Тогда треугольник АОВ - равносторонний, так как боковые стороны - радиусы основания цилиндра, а угол при вершине равен 60°. Высота в этом равностороннем треугольнике - это данное нам расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения. По формуле ОН=h=(√3/2)*a. В нашем случае а=АВ=R и тогда R=√3/(√3/2) =2. Высота цилиндра (его образующая) найдется из площади данного нам сечения: ВВ1=АА1=S/a или АА1=8/2=4. Следовательно, диаметр основания цилиндра равен 4 и его высота равна 4. Тогда площадь осевого сечения (прямоугольника) равна Sc=4*4=16 ед².
