Я для этой задачи сделаю исключение. Дело в том, что недавно возникла дискуссия о пользе теоремы Чевы. А это - очень хороший пример, когда задача просто устная благодаря этой теореме. Нужна вс задача. Пусть есть произвольный треугольник ABC, и на стороне AB выбрана точка A1 так, что отношение BA1/A1C - фиксированное число k. Пусть на AA1 выбрана точка O, так что AO/OA1 - тоже заданное число m. Легко видеть, что если построить две другие чевианы, проходящие через точку О, то отношения CB1/B1A = x и CA1/A1B = y будут однозначно определяться числами к и m, не зависимо от конкретного вида треугольника ABC. В самом деле x + y = m (теорема Ван Обеля) ky/x = 1 (теорема Чевы) то есть y = m/(k + 1); x = km/(k + 1); Теперь - к этой задаче. Есть два треугольника - ACM и BCM. Для которых CH/HM = k одинаковое :) ну просто потому, что это общая сторона. И кроме того AE/EH = BF/FH = m = 1; Из вс задачи следует CP/PA = CQ/QB, что означает PQ II AB; это все решение. Заметьте, что нигде не использовано, что CM - высота, и что H - ортоцентр. То есть условие будет работать вообще для любых чевиан, а не только для высот.
task/24836913 ---.---.---.---.--- Дан острый угол с вершиной в точке О и точка M внутри этого угла, не лежащая на биссектрисе этого угла. Найти на сторонах угла точки A и B такие, что периметр треугольника MAB- наименьший (метод симметрии) ---------------------------------------- Решение : Условия "не лежащая на биссектрисе этого угла" не существенно Построим точки M₁ и M₂ симметричные M относительно сторон угла (a и b соответственно ). Прямая M₁M₂ пересекает стороны a и b угла O в точках A и B . ΔMAB искомый. Действительно,периметр ΔMAB : P=MA+AB + MB =M₁A+AB + M₂B =M₁M₂. Периметр же любого другого треугольника, например, ΔMXY : P₁=MX+AB+ MY = M₁X+AB + M₂Y || длина ломаной M₁XYM₂|| >M₁M₂= P.
Нужна вс задача. Пусть есть произвольный треугольник ABC, и на стороне AB выбрана точка A1 так, что отношение BA1/A1C - фиксированное число k. Пусть на AA1 выбрана точка O, так что AO/OA1 - тоже заданное число m.
Легко видеть, что если построить две другие чевианы, проходящие через точку О, то отношения CB1/B1A = x и CA1/A1B = y будут однозначно определяться числами к и m, не зависимо от конкретного вида треугольника ABC. В самом деле
x + y = m (теорема Ван Обеля)
ky/x = 1 (теорема Чевы)
то есть y = m/(k + 1); x = km/(k + 1);
Теперь - к этой задаче.
Есть два треугольника - ACM и BCM. Для которых CH/HM = k одинаковое :) ну просто потому, что это общая сторона.
И кроме того AE/EH = BF/FH = m = 1;
Из вс задачи следует CP/PA = CQ/QB,
что означает PQ II AB; это все решение.
Заметьте, что нигде не использовано, что CM - высота, и что H - ортоцентр. То есть условие будет работать вообще для любых чевиан, а не только для высот.