I вариант
1) Внешние углы при вершинах A и B треугольника ABC равны соответственно 124° и 136°. Выполнить рисунок, выбрать верные утверждения и объяснить их:
а) ABC -- равнобедренный;
б) ABC – тупоугольный;
в) C = 80°.
2) Существует ли треугольник со сторонами 32см, 48см, 72см? Какой угол будет наименьшим в этом треугольнике? Обосновать ответы.
3) В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC отрезок AH – высота , B=46°. Найти внутренние углы треугольника HAC.
4) В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C катет AC равен 4см.
Угол A в 2 раза меньше внешнего угла при этой же вершине.
Найти длину гипотенузы AB.
5) Построить с циркуля и линейки прямоугольный треугольник с катетом 2см и гипотенузой 4см.
Я присваиваю новые обозначения четырем вершинам
M -> A; N1 -> B; P -> C; Q1 -> D;
(само собой, я и про старые обозначения не забываю, просто помню, что если говорю "точка А", то это одновременно означает "точка М", и наоборот).
Ясно, что ABCD - правильный тетраэдр, так как все его грани - равносторонние треугольники.
Точка K является центром грани куба MM1Q1Q, точка L - центр грани куба NN1P1P, поэтому KL II PQ.
Точка С1 - центр грани MM1N1N, и в задаче надо найти угол C1PQ;
Если считать длину ребра куба равной 2, то C1P = √(1^2 + 2^2 + 2^) = √6;
и косинус угла C1PQ = 1/√6 = √6/6;