Дано: АВСДА₁В₁С₁Д₁ - правильная усеченная пирамида. А₁К=С₁Н=7 см, АВ=ВС=СД=АД=12 см; А₁В₁=В₁С₁=С₁Д₁=А₁Д₁=4 см. Найти АА₁.
АС - диагональ нижнего основания. По теореме Пифагора
АС² = АД² + СД² = 144 + 144 = 288. АС = 12*√2 см.
А₁С₁ - диагональ меньшего основания. По теореме Пифагора
А₁С₁² = А₁Д₁² + С₁Д₁² = 16 + 16 = 32. А₁С₁ = 4*√2 см.
АА₁С₁С - равнобедренная трапеция, где А₁Н и С₁К - высоты.
А₁Н = С₁К = ОО₁ = 7 см.
КН = А₁С₁ = 4√2 см
Прямоугольные треугольники АА₁К и СС₁Н равны по гипотенузе и катету, тогда АК = СН.
АС = КН + 2 АК.
АК = (АС – КН) / 2 = (12√2 - 4√2) / 2 = 4√2 см.
Рассмотрим Δ АА₁К, где АА₁ - гипотенуза. По теореме Пифагора
АА₁² = А₁К² + АК² = 49 + 32 = 81. АА₁ = 9 см.
ответ: 9 см.
Треугольники АВС и ADC лежат в разных плоскостях, АВ=ВС=AD=CD=4 см, АС=6 см .BD=√21 см. Найдите угол между плоскостями АВС и ADC.
Объяснение:
1 ) Пусть ВН⊥АС .Тогда ВН-медиана ,тк ΔАВС-равнобедренный , и АН=НС = 3 см.
ΔВСН-прямоугольный , по т Пифагора ВН=√(СН²- ВС²)=√(16-9)=√7 (см).
2)Отрезок DH-медиана для ΔАDC, тк Н-середина АС.Тогда для ΔCDH по т. Пифагора DH=√7 см.
Медиана DH для ΔСDH является высотой по свойству медианы равнобедренного треугольника.
3)Тк.DH⊥AC,BH⊥AC , то ∠ВНD- линейный угол двугранного угла между плоскостями АВС и ADC.
По т. косинусов DB²=DH²+BH²-2*DH*BH*cos (∠BHD),
(√21)²= 2*(√7)²-2*√7*√7 *cos (∠BHD),
21=14-14*cos (∠BHD) , -14cos (∠BHD)=7 , cos (∠BHD)= - 1/2.
∠BHD=120° .