Question

Проекцией треугольника АВС на плоскость β является равносторонний треугольник А1ВС. Найдите угол φ между плоскостью треугольника АВС и плоскостью β, если ВС = 8 см, АВ = АС = 10 см.

Answer 1

Для начала, давайте разберемся с понятием проекции треугольника АВС на плоскость β.

Проекцией треугольника на плоскость является его изображение на этой плоскости при условии, что все точки треугольника перпендикулярно проектируются на данную плоскость. В данном случае, проекцией треугольника АВС на плоскость β является равносторонний треугольник А1ВС.

Далее, нам нужно найти угол φ между плоскостью треугольника АВС и плоскостью β. Для этого мы можем использовать следующую формулу:

cos(φ) = нормальный_вектор_плоскости_1 • нормальный_вектор_плоскости_2 / (|нормальный_вектор_плоскости_1| * |нормальный_вектор_плоскости_2|)

где • обозначает скалярное произведение векторов, а | | обозначает длину вектора.

Давайте найдем нормальный вектор плоскости треугольника АВС. Нормальный вектор плоскости можно найти, взяв векторное произведение двух векторов, лежащих в этой плоскости.

Векторы АВ и АС лежат в плоскости треугольника АВС. Давайте найдем их:

Вектор АВ = Б - А = (0, 10, 0) - (0, 0, 0) = (0, 10, 0)
Вектор АС = В - А = (8, 0, 0) - (0, 0, 0) = (8, 0, 0)

Теперь найдем нормальный вектор плоскости треугольника АВС, взяв векторное произведение этих двух векторов:

нормальный_вектор_плоскости_1 = АВ x АС = (0, 10, 0) x (8, 0, 0) = (0, 0, -80)

Теперь найдем нормальный вектор плоскости β. Так как равносторонний треугольник А1ВС лежит на плоскости β, мы можем использовать его нормальный вектор, который будет совпадать с нормальным вектором плоскости β.

Так как треугольник А1ВС - равносторонний, векторы А1В и А1С будут равны по длине и перпендикулярны плоскости β. Проведем прямую из точки А1 до середины отрезка ВС и обозначим эту точку как М.

Теперь найдем вектор А1М. Так как треугольник А1ВС - равносторонний, он будет равен векторам А1В и А1С, и можно взять любой из них:

вектор А1В = В - А1 = (0, 0, 0) - (0, 10, 0) = (0, -10, 0)
вектор А1М = вектор А1В / 2 = (0, -10, 0) / 2 = (0, -5, 0)

Теперь, зная вектор А1М, можем найти нормальный вектор плоскости β:

нормальный_вектор_плоскости_2 = А1В x А1М = (0, -10, 0) x (0, -5, 0) = (0, 0, 50)

Теперь, когда у нас есть оба нормальных вектора, можем найти угол φ, используя ранее указанную формулу:

cos(φ) = нормальный_вектор_плоскости_1 • нормальный_вектор_плоскости_2 / (|нормальный_вектор_плоскости_1| * |нормальный_вектор_плоскости_2|)

Подставим значения:

cos(φ) = (0, 0, -80) • (0, 0, 50) / (|0, 0, -80| * |0, 0, 50|)
= 0 / (80 * 50)
= 0

Так как cos(φ) = 0, это значит, что угол φ равен 90 градусов, то есть плоскость треугольника АВС и плоскость β перпендикулярны друг другу.