Высота, проведенная из вершины прямого угла, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу: . Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла, делит его на два подобных и подобных исходному треугольнику.
Высота, проведённая из вершины прямого угла на гипотенузу, есть средняя пропорциональная между отрезками гипотенузы, а каждый катет есть среднее пропорциональное между всей гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу. Доказательство. Вот наш прямоугольный треугольник ABC, вот его гипотенуза AB, вот высота CH, проведённая из вершины прямого угла на гипотенузу. И вот отрезки, на которые высота делит гипотенузу: AH и BH. И нам надо доказать, что высота — это среднее пропорциональное между отрезками гипотенузы, то есть AH/CH = CH/BH, доказать, что каждый катет — это среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу, то есть AB/AC=AC/AH и AB/BC=BC/BH. Все эти три равенства следуют из подобия трёх изображённых треугольников ▲ACH, ▲BCH и исходного треугольника ▲ABC. Докажем сначала подобие ▲ACH и ▲ABC. У обоих этих треугольников равные прямые углы, и равные углы с кружком — то есть треугольники подобны по первому признаку, и третьи углы (с зубчиками) у них тоже равны. У треугольников ▲BCH и ▲ABC тоже равные прямые углы и равные углы с зубчиками — выходит, эти треугольники тоже подобны по первому признаку, и третьи углы (с кружком) у них тоже равны. У треугольников ▲ACH и ▲BCH тоже равные прямые углы и углы с кружком, и эти треугольники тоже подобны по первому признаку.
Подобие трёх треугольников доказано.
В подобных треугольниках ACH и BCH отношения короткого и длинного катетов равны — а это как раз наше первое равенство. В подобных треугольниках ACH и ABC отношения гипотенузы и короткого катета равны — это наше второе равенство.
В подобных треугольниках BCH и ABC отношения гипотенузы и длинного катета равны — и это наше третье равенство.
Равенства доказаны — а их и надо было доказать.
2)Множество точек, удаленных на расстояние а от точки М - это окружность с центром в т. М и радиусом равным а.
А множество точек, удаленных на расстояние b от точки Р - это окружность с центром в т. Р и радиусом равным b
Возможно три случая:
1) Если расстояние между точками М и Р меньше, чем сумма а + b, то окружности пересекутся в двух точках (два решения) .
2) Если расстояние между точками М и Р равно сумме а + b, то окружности будут касаться и иметь единственную общую точку.
3) Если расстояние между точками М и Р больше, чем сумма а + b, то окружности не пересекутся (решений нет) .
ОТВЕТ: если MP< а + b, то таких точек две,
если MP = а + b, то точка одна,
если MP > а + b, то задача не имеет решения.