Искомая площадь - сумма площадей двух сегментов круга, отсекаемых от него ромбом.
Угол СТО опирается на диаметр и равен 90º
Расстояние от точки до прямой - длина отрезка из этой точки, перпендикулярного к этой прямой.
ОТ ⊥ ВС и является расстоянием от О до ВС.
ТО=3 см ( расстояние от точки до прямой - перпендикуляр)
Формула площади сегмента ромба:
S=0,5R²[(πα/180º)-sin α],
где R радиус круга, α - угол сегмента в градусах, π≈3,14
∆ ВОС~∆ ВОТ ( прямоугольные с общим углом при В)
∠ВОТ=∠ВСО
tg∠ВОТ=ВТ:ТО=√3:3=1/√3. Это тангенс 30º
∆ ТО1С равнобедренный.
∠ ТСО₁=∠ СТО₁
∠ ТО₁С=180-2∠ТСО₁
Отсюда ∠ТО₁С=180º-2*30º=120º
Из ∆ ТОС
ОС=ТО:sin30º=3:0,5=6 см
R=ОС:2=3 см
Сумма площадей 2-х сегментов
S=R²[(πα/180º)-sin α],
sin 120º=√3/2
Подставим найденные величины:
S=3²[(π120º/180º)-√3/2]
S=6π-9√3)/2
S=6π-4,5√3≈11,055 см²
-------
В приложении решение дано несколько иное, хотя принцип тот же.
а)Так как AB//CD, то дуга АС=дуге ВD => угол FBA=углу DCE, как опирающиеся на равные дуги одной окружности.
Аналогично доказываем, что угол BFD = углу CEA.
Точки пересечения хорд назовем М и N (см. рисунок).
Треугольники FBM и ECN подобны по двум углам. А так как по условию FM//EN и BM//CN, то FB//CE.
б)Так как в ромбе все стороны равны и АН = половине АВ, АН= половине AD. Получается, что в прямоугольном треугольнике ADH катет равен половине гипотенузы => <ADH = 30 градусов., тогда <DAH=60 градусов. Противоположные углы ромба равны, значит угол С=60 градусов. Угол D + угол B=180 градусов, значит <D = 120 гр. И <B=120гр.
Периметр. Рассмотрим тр. DAB, он равнобедренный и угол А=60 гр., значит углы D и В равны по 60 гр., т. е. треугольник DAB равносторонний и его стороны равны по 3,5см.
Таким образом DA=AB=BC=CD=3,5см. Значит периметр равен 3,5*4=14
ответ: 14см.
в)См. рисунок.
ОА перпендикулярен АМ и ЕВ перпендикулярен АМ , значит ОА//ЕВ. Отсюда следует, что Треугольники МАО и МВЕ перпендикулярные и они подобны по двум углам (углы АОМ и ВЕМ равны как соответственные). Из подобия следует, что АМ:ВМ= АО: ВЕ=3:1 =>AB:ВМ=2:1. Обозначим АВ=2х, ВМ=1х.
Из треугольника ЕВМ по теореме Пифагора найдем ЕМ. ЕМ²=ЕВ²+ВМ² => EM²=1²+x²=1+x².
Таким образом ОМ= 3+1+ЕМ= 4+кор.из(1+х²)
С другой стороны по теореме Пифагора ОМ²=9+9х² => OM= кор.из(9+9х²)
Составим уравнение : кор.из(9+9х²)=4+кор.из(1+х²) Решая это уравнение, получаем, что х=кор.из3
Рассмотрим теперь треугольник ВЕМ. Так как он прямоугольный, то tg угла ВМЕ равен отношению противолежащего катета к прилежащему, т. е. ВЕ:ВМ=1:кор.из3 => угол ВМЕ=30градусов.
Угол ВМЕ = углу КМЕ (Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.)=> угол ВМК=60градусов.
г)Обозначим гипотенузу треугольника с. cos a=b/c =>c=b/cos a
Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной окружности, значит радиус этой окружности равен с/2=b/(2cos a).
Длина окружности равна 2πR= 2*π*b/(2cos a)=(π*b)/cos a
Проводим высоту в трепеции,чтобы получился прямоугольный треугольник.Гипотенуза равна 1,3,и один катет равен 2,5-2=0,5(т.к.основания параллельны)
По теореме Пифагора
0,5^2+a^2=1,3^2
1,69-0,25=1,44
a=1,2
Этот катет параллелен и равен второй боковой стороне,следовательно периметр равен 1,2+2,5+1,3+2= 7 См