При решении я предполагаю, что автору задачи известно, что медианы делят треугольник на шесть, равных по площади, как отностятся площади треугольников, если есть общая высота и прочее... если что будет не понятно - спршивайте.
1. Skldc = (1/3)*Sabc = 8;
2. (3/4)*Sabc = m*n/2 (прямая MN - средняя линяя, и отсекает четверть площади треугольника); Sabc = 2*m*n/3;
3. Треугольники СОА и СОМ равны - это прямоугогльные треугольники с равными углами и общим катетом. АО = ОМ, поэтому треугольники АОL и LOM тоже равны.
Но самое главное, BL/AL = СВ/АС = 2*CM/AC = 2*MO/OA = 2.
Поэтому Smlb = 2*Smla = 4*Solm, а Smlb + Smla = Sabc/2;
Имеем
4*Solm + 2*Solm = Sabc/2; Solm = 1/12;
4. Это то же самое, что найти площадь треугольника со сторонами 27,29 и 26*2 = 52; понять это очень просто - треугольник достраивается до параллелограмма (медиану продолжаем за основание на свою длину и соединяем полученную точку с концами сторон). Диагонали делят праллелограмм на 2 части, равные по площади. Поэтому и получается, что площадь треугольника со сторонами a,b и медианой m равна площади треугольника со сторонами a, b и 2*m. Считаем по формуле Герона (слава Гейтсу, есть Excel) полупериметр p= 54, p-a = 27;p-b = 25; p - c1 = 2; (c1 это 52 = 2*26); ясно видно, что произведение равно 27^2*100, то есть площадь 270.
5. Всё, что надо знать - формула S = a*b*sinC/2; Доли площадей треугольников АЕМ EBF и MFC от площади АВС определяются именно по ней, к примеру
Saem = (1/3)*AB*(2/5)*AC*sinC/2 = (1/3)*(2/5)*Sabc;
Sefm/Sabc = 1 - (1/3)*(2/5) - (2/3)*(1/6) - (5/6)*(3/5) = 23/90;
1) Первый пункт задачи должен быть сформулирован так:
докажите, что все вершины четырехугольника АВСD лежат в одной плоскости, если его диагонали АС и ВD пересекаются.
Воспользуемся теоремой: через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и при том только одну.
Даны две пересекающиеся прямые АС и ВD. Проходящую через них плоскость обозначим α.
Прямая АС лежит в плоскости α, значит А∈α и В∈α.
Прямая ВD лежит в плоскости α, значит В∈α и D∈α.
Точки А, В, С, D принадлежат плоскости α, т.е. все вершины четырехугольника АВСD принадлежат плоскости α.
Что и требовалось доказать.
2) Рисунок к задаче прикреплен. Дан четырехугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны и известны длины этих диагоналей (смотри рисунок).
Воспользуемся формулой для вычисления площади четырехугольника по двум диагоналям и углу между ними.
ответ: площадь АВСD равна 60 см².