Задание. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей правильного треугольника,если их разность равна 11 см.
r= \dfrac{a}{2 \sqrt{3} }r=
2
3
a
- радиус вписанной окружности;
R=\dfrac{a}{\sqrt{3} }R=
3
a
- радиус описанной окружности;
Их разность R-r=\dfrac{a}{\sqrt{3} } -\dfrac{a}{2\sqrt{3} } = \dfrac{2a}{2\sqrt{3} } -\dfrac{a}{2\sqrt{3} } =\dfrac{a}{2\sqrt{3} }R−r=
3
a
−
2
3
a
=
2
3
2a
−
2
3
a
=
2
3
a
и равен 11, т.е. \dfrac{a}{2\sqrt{3} } =11
2
3
a
=11 откуда a=22 \sqrt{3}\,\, _{CM}a=22
3
CM
Радиус вписанной окружности равен : r= \dfrac{22 \sqrt{3} }{2 \sqrt{3} } =11\,\,\, _{CM}r=
2
3
22
3
=11
CM
а радиус описанной окружности: R= \dfrac{a}{ \sqrt{3} } = \dfrac{22 \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } =22\,\, _{CM}R=
3
a
=
3
22
3
=22
CM
ответ: 11 см и 22 см.
По одному из свойств касательных, проведённых из одной точки, отмеченные лучи являются биссектрисами углов ∠CBА и ∠EDC соответственно; если углы ∠АВС и ∠CDЕ являются равными, то и образованные биссектрисами углы тоже равны (∠ЕDО=∠ОDС=∠СВО=∠ОВА); получаем ΔDОВ с равными углами ∠ОDВ=∠DВО; что значит, что ΔDОВ - равнобедренный; DO=ВО;
Радиус, проведённый в точку касанияПо свойству такого радиуса проведённый отрезок ОС будет перпендикулярен прямой ВD; те OC - высота ΔDOВ; по свойству равнобедренного треугольника OC является и медианой; значит, СD=СВ;
Отрезки касательныхПо свойству касательных, проведённых из одной точки, отрезки ВС, ВА и DC, DЕ касательных попарно равны (те ВС=ВА и DC=DЕ); мы доказали, что DС=ВС; значит, ВС=ВА=DC=DЕ, ч.и.т.д.
№2Обратные теоремы действенны - нужно доказать тоже самое, только в обратную сторону. Поэтому напишу вкратце.
Если АВ=ВС=CD=DЕ, то при ОС⊥ВD ОВ=ОD (св-ва р/б Δ); тогда при ∠ОDВ=∠DВО и биссектрисах DO и ВО (∠ЕDО=∠ОDС и ∠СВО=∠ОВА) ∠ЕDО=∠ОDС=∠СВО=∠ОВА, ч.и.т.д.
Во втором случае точки
В, С и Д не лежат на одной
прямой.
Объяснение:
1.
ВС=18см
ВД=10см
СД=8см
ВС=ВД+СД=10+8=18(см)
18=18 верно.
Вывод: точка Д лежит между
точками В и С.
2.
ВС=20см
ВД=12см
СД=10см
а) ВС=ВД+СД=12+10=22(см)
20=22 неверно.
Точка Д не лежит между точка
ми В и С.
б) ВД=ВС+СД=20+10=30(см)
12=30 неверно.
Точка С не лежит между точка
ми В и Д.
в) СД=ВС+ВД=20+12=32(см)
10=32 неверно.
Точка В не лежит между точка
ми С и Д.
Вывод: точки В, С и Д не лежат
на одной прямой.
3.
ВС=19см
ВД=6см
СД=25см
СД=ВС+ВД=19+6=25(см)
25=25 верно.
Вывод: точка В лежит между
точками С и Д.
4.
ВС=17см
ВД=24см
СД=7см
ВД=ВС+СД=17+7=24
24=24 верно.
Вывод: точка С лежит между
точками В и Д.