Если из точки B провести перпендикуляр к AB (или из точки С - перпендикуляр к AC) то он пересечет линию центров в точке E, и AE - диаметр D описанной вокруг ABC окружности. Легко видеть AB = D*cos(α/2); α = ∠CAB; Площадь S = AB^2*sin(α)/2; S = r*(AB + BK) = r*AB*(1 + sin(α/2)); r = 39 - радиус вписанной в ABC окружности. Аналогично S = ρ*(AB - BK) = ρ*AB*(1 - sin(α/2)); ρ = 42 - радиус вневписанной окружности. Отсюда sin(α/2) = (ρ - r)/(ρ + r); Если кому-то неизвестна связь между площадью и радиусом вневписанной окружности (то есть окружности, которая касается стороны a и продолжений двух других сторон) S = ρ(p - a); то это выражение sin(α/2) = (ρ - r)/(ρ + r); легко увидеть непосредственно - если провести радиусы в точки касания, и из центра меньшей окружности провести прямую параллельно AB. Там получится прямоугольный треугольник с катетом ρ - r гипотенузой ρ + r и острым углом α/2; Получилось AB^2*sin(α)/2 = r*AB*(1 + sin(α/2)); D*cos(α/2)*sin(α)/2 = r*(1 + sin(α/2)); D*(cos(α/2))^2 = r*(sin(α/2) + 1)/sin(α/2); D*(1 - (sin(α/2))^2) = r*(sin(α/2) + 1)/sin(α/2); D*(1 - sin(α/2)) = r*/sin(α/2); или D*(1 - (ρ - r)/(ρ + r)) = r*(ρ + r)/(ρ - r); 2*D = 4*R = (ρ + r)^2/(ρ - r); R = (42 + 39)^2/(4*3) = 2523/4 = 630,75;
Объяснение:
Центр кола описаного навколо будь-якого трикутника, лежить у точці перетину серединних перпендикулярів його сторін.