Обозначим искомый угол за х, угол между диагоналями напротив большей стороны за у. По условию х=у-70. Рассмотрим треугольник, образованный диагоналями и меньшей стороной прямоугольника. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Таким образом этот треугольник равнобедренный с основанием, совпадающим с меньшей стороной прямоугольника. Если обозначить угол меньшего треугольника напротив основания за а, то а=180-х-х=180-2х по теореме о сумме углов в треугольнике. С другой стороны, этот угол смежный с углом, обозначенным как у, то есть а=180-у. Таким образом, 180-у=180-2х, или 2х=у. Сопоставляя выражения 2х=у и х=у-70, получаем систему уравнений, откуда находим искомый угол х = 70.
Теория - основа для решения задач. Раз изучаете вписанные и описанные окружности, наверняка уже знаете, что центр вписанной в треугольник окружности находится в точке пересечения его биссектрис. Знаете также и то, что центр описанной окружности - в точке пересечения срединных перпендикуляров, проведенных к каждой из его сторон. В равностороннем треугольнике все биссектрисы и высоты пересекаются в одной точке, и эта точка - центр и вписанной, и описанной окружности, так как высота равностороннего треугольника и есть срединный перпендикуляр к стороне. Почему - доказывать не стоит, наверняка знаете. О том, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1- считая от вершины, Вы уже должны знать. Вот на знании всех этих свойств и построено решение задачи. Точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от всех его сторон. Расстояние от нее до стороны - радиус вписанной окружности. В равностороннем треугольнике это 1/3 медианы - и это и 1/3 биссектрисы и 1/3 высоты ( три в одном флаконе). Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности - расстояние от точки пересечения высот до вершин треугольника, и это расстояние в два раза больше расстояния от точки пересечения биссектрис (высот) до стороны треугольника. Итак, радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в два раза больше радиуса вписанной в него. R=2r= 5*2=10 cм См. рисунок в качестве иллюстрации.
Медіана поділяє трикутник на два трикутники з рівними площами -властивість медіани
Медіана — відрізок, який з'єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони.
Якщо трикутник АВС поділені медіаною ВД, то трикутники АВД=ВДС.