5. Могут, если этот угол прямой (рис. 1).
6. 180° · 3 = 540° (решение аналогично задаче в самом верху страницы учебника, только треугольников будет 3, а не 2; рис. 2).
7. Проведем отрезок BC (рис. 3). В любом треугольнике сумма внутренних углов равна 180°.
Тогда для треугольника KBC верно равенство:
∠KBC + ∠KCB + 120° = 180°
∠KBC + ∠KCB = 180° – 120° = 60°.
Для треугольника ABC:
(2x + ∠KBC) + (3x + ∠KCB) + 5x = 180°
(2x + 3x + 5x) + (∠KBC + ∠KCB) = 180°
10x + 60° = 180°
10x = 120°
x = 12°
2x = 24°; 3x = 36°; 5x = 60°
ВК=2, АК=8, тогда, АВ=10.
Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника, проведём биссектрису ВН: точка Н совпадёт с точкой касания окружности на стороне АС, т.к. в биссектриса, проведённая из угла В, является и высотой, и медианой, т.е. угол АНС = 90 градусов.
АН=АК, т.к. отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны, т.е. АН=8, тогда АС=16.
В прямоугольном треугольнике АВН АВ=10, АН=8, тогда по теореме Пифагора ВН=6.
Найдём площадь треугольника: 1/2 * АС * ВН = 1/2 * 16 * 6 = 42.