Сторона ромба равна 10 см, острый угол равен 30°. Найдите радиус вписанной в ромб окружности
Стороны ромба равны между собой и являются касательными к вписанной окружности, центром которой является точка пересечения диагоналей ромба. Диаметр этой окружности, проведенный в точки касания, перпендикулярен обеим сторонам ромба (свойство диаметра).
Высота ВН противолежит углу 30°⇒
ВН равна половине гипотенузы. ВН=АВ:2=5 см
КМ⊥ВС и АD; ВН ⊥BC и АD⇒ КМ║ВН и равны, как перпендикуляры между параллельными прямыми. ⇒
d=5 cм, r=2,5 см
----------
Полезно запомнить: Диаметр вписанной в ромб окружности равен его высоте.
1) Объём конуса равен (формула) (1/3)π*R²*h
R - радиус
h - высота
Теорема Пифагора в этом случае: R² + h²=L², выразим R² = (L²- h²) м²
Получилось, что V = (π*( L² - h²)*h)/3 = (π/3)*( L²*h - h³) м³.
Далее: V'(h) = (π/3)*( L² - 3h²). (Это производная)
Нужно прировнять производную к нулю, видим: (π/3)*( L² - 3h²) = 0.
Теперь и второе выражение приравниваем к нулю:
И выражаем: h = √(( L²)/3) = L/√3 = 22,8/√3 примерно равно 4,77493 см.
h у нас положительно число (т.е больше нуля) получается, что: h= (L/√3)! Максимальная!
4,77/√3=(примерно)3.
И нужно подставить значение высоты: h = (L/√3) в уравнение объёма:
V = (π/3)*(L²*(L/√3)-(L/√3)³) = (2π*L3)/(3*√3).
Получаем то, что
V = (2π*22,8*3)/(2/√3) примерно получаем 118
cм³.
ответ: 118
А, если посчитать с числом пи, то получим примерно 371 см²