Question

Точки A1, B1, C1 — середины сторон BC, AC, AB треугольника ABC, точка O — центр описанной окружности треугольника ABC. Выберите 4 точки, являющиеся вершинами треугольника и его ортоцентром соответственно.
A

B

C

A1

B1

C1

O
https://edu.sirius.online/noo-back/content/_image/92

Answer 1

Добрый день! С удовольствием помогу вам разобраться с этой задачей!

Для начала, давайте вспомним, что такое ортоцентр треугольника. Ортоцентр - это пересечение высот треугольника, то есть прямых, проведенных из вершин треугольника до середин противоположных сторон.

Теперь посмотрим на рисунок и исходные данные. Мы имеем треугольник ABC и середины его сторон A1, B1, C1. Дано также, что точка O - центр описанной окружности треугольника ABC.

Мы ищем 4 точки: вершины треугольника и его ортоцентр.

Возьмем точку C - одну из вершин треугольника. Тогда ее противоположная сторона будет AB. Согласно условию, точка C1 - середина стороны AB. Таким образом, точка C1 принадлежит прямой, проходящей через точку C и середину стороны AB.

Давайте проделаем аналогичные действия для точек A и B.

Возьмем точку A - вторую вершину треугольника. Тогда ее противоположная сторона будет BC. Согласно условию, точка A1 - середина стороны BC. Таким образом, точка A1 принадлежит прямой, проходящей через точку A и середину стороны BC.

Теперь возьмем точку B - третью вершину треугольника. Тогда ее противоположная сторона будет AC. Согласно условию, точка B1 - середина стороны AC. Таким образом, точка B1 принадлежит прямой, проходящей через точку B и середину стороны AC.

Посмотрим на оставшуюся точку O - центр описанной окружности треугольника. Напомню, что ортоцентр - это пересечение высот треугольника. Высота проводится из вершины треугольника до противоположной стороны, а ее конечная точка обязательно лежит на окружности, описанной около треугольника.

Поэтому окружность, проходящая через точки A, B и C, будет проходить также через ортоцентр треугольника. Таким образом, точка O является ортоцентром треугольника ABC.

Итак, 4 точки, являющиеся вершинами треугольника и его ортоцентром:

A, B, C, O.

Надеюсь, мое объяснение было понятным и подробным! Если у вас остались какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!