Найти площадь полной поверхности и объём шара, радиус которого равен 13+6+8. 2. Найти площадь полной поверхности и объём усечённого конуса с высотой 13 и радиусами оснований 6 и 6+8.
Обозначим радиусы конуса ОН и О1А. Получилась прямоугольная трапеция ОНАО1. Проведём высоту НН1 к радиусу нижнего основания О1А. Она делит О1А так, что О1А=ОН=6, значит Н1А=14-6=8.
Также получился прямоугольный треугольник НАН1, в котором радиусы основания являются катетами а образующая конуса гипотенузой. Найдём НА по теореме Пифагора:
НА²=НН1²+НА²=13²+8²=169+64=233;
НА=√233
Найдём площадь боковой поверхности конуса по формуле:
Sбок=π(R+R1)HA=π(6+14)×√233=20√233π;
√233≈15,3; 20×15,3π=306π
Найдём площадь верхнего и нижнего оснований по формуле: S=πr²
Sверх.осн=π×6²=36π
Sниж.осн=π×14²=196π
Площадь полной поверхности конуса- это сумма всех его площадей основания и боковой поверхности:
Sпол=Sбок.пов+S2хосн=306π+36π+196π==538π
Sпол=538π
Объём усечённого конуса вычисляется по формуле: V=⅓×πH(R1²+R1×R2+R2²)=
Через прямую можно провести бесконечное множество плоскостей, это апиори. Если точка "а" не принадлежит прямой, то через нее и прямую можно провести только одну плоскость, так как прямая - это линия проведенная через 2 точки (не имеет значения в какой части прямой они находятся) а точка "а", по сути является третьей точкой опоры, а через 3 точки опоры можно провести только одну плоскость. Отсюда и вытекает, что поместив точку "а" на прямую, мы сможем провести через неё бесконечное множество плоскостей, так как она станет частью этой прямой и наоборот.
Пусть в прямоугольный треугольник ABC вписан квадрат CDEF (см. рисунок). Здесь AC=a, BC=b. Заметим, что диагональ CE квадрата является также биссектрисой исходного треугольника. Пусть CE=d, тогда CD=d√2/2 - сторона квадрата меньше диагонали в √2 раз. Периметр квадрата равен (d√2/2)*4=2√2d, а площадь равна (d√2/2)²=d²/2. Таким образом, чтобы найти периметр и площадь квадрата, достаточно выразить биссектрису прямого угла d через a и b.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, в нашем случае S=ab/2. Теперь воспользуемся другой формулой площади - S=1/2*a*b*sin(C), где a,b - соседние стороны треугольника, а sin(C) - угол между ними. Тогда S(ACE)=1/2*AC*CE*sin(45), S(BCE)=1/2*CE*BC*sin(45) (углы ACE и BCE равны 45 градусам). Так как S(ACE)+S(BCE)=S(ABC), мы можем записать уравнение с одним неизвестным CE: 1/2*AC*CE*sin(45)+1/2*CE*BC*sin(45)=ab/2 AC*CE*sin(45)+CE*BC*sin(45)=ab CE(AC+BC)=ab/sin(45) CE=ab/(a+b)sin(45) Таким образом, d=ab/(a+b)sin(45). Получаем, что периметр квадрата равен 2√2d=2√2ab/(a+b)sin(45)=4ab/(a+b), а площадь равна d²/2=(ab/(a+b)sin(45))²*1/2=a²b²/(a+b)².
Объяснение: ЗАДАНИЕ 1
Площадь шара вычисляется по формуле:
S=4πR², где R- радиус шара=13+6+8=27
S=4π×27²=4π×729=2916(ед²)
Объем шара вычисляется по формуле:
V=4/3πR³=4/3π×27³=4/3π×19683
=26244π(ед³)
ЗАДАНИЕ 2
Обозначим радиусы конуса ОН и О1А. Получилась прямоугольная трапеция ОНАО1. Проведём высоту НН1 к радиусу нижнего основания О1А. Она делит О1А так, что О1А=ОН=6, значит Н1А=14-6=8.
Также получился прямоугольный треугольник НАН1, в котором радиусы основания являются катетами а образующая конуса гипотенузой. Найдём НА по теореме Пифагора:
НА²=НН1²+НА²=13²+8²=169+64=233;
НА=√233
Найдём площадь боковой поверхности конуса по формуле:
Sбок=π(R+R1)HA=π(6+14)×√233=20√233π;
√233≈15,3; 20×15,3π=306π
Найдём площадь верхнего и нижнего оснований по формуле: S=πr²
Sверх.осн=π×6²=36π
Sниж.осн=π×14²=196π
Площадь полной поверхности конуса- это сумма всех его площадей основания и боковой поверхности:
Sпол=Sбок.пов+S2хосн=306π+36π+196π==538π
Sпол=538π
Объём усечённого конуса вычисляется по формуле: V=⅓×πH(R1²+R1×R2+R2²)=
=⅓π×13(6²+6×14+14²)=13π/3(36+84+196)=
=13π/3×316=4108π/3(ед³)
или 1369π целых ⅓
ОТВЕТ: Sпол=538π(ед²); V=4108π/3(ед³)