Смотрите, как лучше рассуждать, чтобы задача была понятной. Граней у тетраэдра четыре, поэтому у нас будет фигура с четыремя вершинами. Далее, все грани одинаковы, поэтому и получившаяся фигура имеет все равные ребра (и грани, конечно). Поэтому это - тоже тетраэдр.
Дальше, центры боковых граней лежат в плоскости, параллельной основанию, которая проходит на высоте 1/3 от высоты пирамиды. Это следует из известного свойства точки пересечения медиан. Эта плоскость должна делить все апофемы в пропорции 2/1, считая от вершины.
Стороны такого сечения равны 2/3 от длины рабра. А основание искомой фигуры получится, если в этом сечении соединить середины сторон. То есть это будет правильный треугольник со стороной 1/3 от ребра.
Таким образом, нам надо найти площадь поверхности тетраэдра с ребром 2 (то есть площадь четырех правильных треугольников со стороной 2).
4*2*2*sin(60)/2 = 4*корень(3).
Вроде так, проверьте :)))
Объяснение:
Дана правильная треугольная пирамида. Её высота Н равна a√3, радиус окружности, описанной около её основания, равен 2a.
Найти: а) апофему А пирамиды.
Радиус R окружности, описанной около её основания, равен 2/3 высоты основания, то есть R = в√3/3, где в - сторона основания.
Находим сторону основания: в = R/(√3/3) = R√3 = 2a√3.
Отсюда апофема равна: А = √(Н² + (R/2)²) = √(3a² + a²) = √4a² = 2a.
Величина R/2 равна 1/3 высоты основания или радиусу вписанной окружности в основание.
б) угол α между боковой гранью и основанием равен:
α = arc tg(H/(R/2)) = arc tg(a√3/a) = arc tg√3 = 60 градусов.
в) площадь Sбок боковой поверхности.
Периметр основания Р = 3в = 3*2a√3 = 6a√3.
Sбок = (1/2)РА = (1/2)*(6a√3)*2а = 6a²√3 кв.ед.
г) плоский угол γ при вершине пирамиды(угол боковой грани).
γ = 2arc tg((в/2)/А) = 2arc tg((2а√3/2)/2а) = 2arc tg(√3/2) ≈ 1,42745 радиан или 81,7868 градуса.