В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен 60°. Отрезок, соединяющий основание высоты пирамиды с серединой апофемы, равен 3. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
* * *
Решение.
Двугранный угол измеряется величиной линейного угла между двумя лучами, проведенными перпендикулярно к одной точке ребра двугранного угла.
Боковая грань правильной пирамиды - равнобедренный треугольник. Апофема МН и высота СН основания перпендикулярны ребру АВ в его середине Н. АН=ВН.
Угол МНС - линейный угол двугранного угла при основании пирамиды.
Вершина правильной пирамиды проецируется в центр основания - точку пересечения его медиан ( высот, биссектрис).
Высота пирамиды МО - перпендикулярна плоскости основания,⇒
МО⊥СН.
∆ МОН - прямоугольный, КО - его медиана.
По свойству медианы прямоугольного треугольника МК=КН=КО=3, ⇒ МН=2•3=6
По условию ∠КНО=60°.
В ∆ КОН стороны КО=НК ⇒ НО=КО=3
СН медиана и высота основания АВС,
Медианы треугольника точкой их пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
Решение: Площадь треугольника находится по формуле: S=1/2*bh где b- основание треугольника; h-высота треугольника Обозначим один из катетов за (х) дм, тогда второй катет, согласно условия задачи, равен (х-1)дм По теореме Пифагора следует: 5²=(х)²+(х-1)² 25=х²+х²-2х+1 2х²-2х+1-25=0 2x²-2x-24=0 х1,2=(2+-D)/2*2 D=√(4-4*2*-24)=√(4+192)=√196=14 х1,2=(2+-14)/4 х1=(2+14)/4 х1=16/4 х1=4 (дм- один из катетов прямоугольного треугольника) - примем его за основание треугольника х2=(2-14)/4 х2=-12/4 х2=-3 - не соответствует условию задачи х-1=4-1=3(дм-второй катет) - примем его за высоту прямоугольного треугольника Отсюда: S=1/2*4*3=1/2*12=6(дм²)
В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен 60°. Отрезок, соединяющий основание высоты пирамиды с серединой апофемы, равен 3. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
* * *
Решение.
Двугранный угол измеряется величиной линейного угла между двумя лучами, проведенными перпендикулярно к одной точке ребра двугранного угла.
Боковая грань правильной пирамиды - равнобедренный треугольник. Апофема МН и высота СН основания перпендикулярны ребру АВ в его середине Н. АН=ВН.
Угол МНС - линейный угол двугранного угла при основании пирамиды.
Вершина правильной пирамиды проецируется в центр основания - точку пересечения его медиан ( высот, биссектрис).
Высота пирамиды МО - перпендикулярна плоскости основания,⇒
МО⊥СН.
∆ МОН - прямоугольный, КО - его медиана.
По свойству медианы прямоугольного треугольника МК=КН=КО=3, ⇒ МН=2•3=6
По условию ∠КНО=60°.
В ∆ КОН стороны КО=НК ⇒ НО=КО=3
СН медиана и высота основания АВС,
Медианы треугольника точкой их пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
СН=3•ОН=9.
S ∆ ABC=CH•AB:2=0•6√3:2=27√3
S бок=3•МН•AB:2=3•6•6√3:2=54√3
Sполн=27√3+54√3=81√3 (ед. площади)