Пусть треугольник АВС с инцентром О (инцентр - центр вписанной окружности) имеет р=4 см, где р - радиус вписанной окружности. Проведём ВО до пересечения с АС. Получим точку Д. ВО - биссектриса, т.к. О - инцентр, а значит и медиана, и высота. АО - тоже биссектриса. Теперь рассмотрим тр. АВД. АВ/АД=АВ/(АС/2)=2/1. Значит, АО (по свойству биссектрисы) делит ВД в отношении 2/1. Отсюда ВД/ДО=3/1. ДО=р, значит ВД=12 см. Формула высоты правильного треугольника - Акор(3)/2, где А - сторона треугольника, кор(3)*кор(3)=3. Значит, сторона треугольника выражается через сторону так: 2Н/кор(3), где Н - высота равностороннего треугольника. Значит, сторона треугольника равна 2*12/кор(3)=8кор(3).
ответ: 8кор(3).
сушествует такая формула: r=a / 2 √3
где r - это радиус вписнной окружности в треугольник, а -это сторона равностороннего треугольника
подставляем:
4=а / 2√3
отсюда:
а=4*2√3=8√3