Question

Катет BC прямоугольного треугольника ABC равен 10 . Через вершину прямого угла C проведена прямая, от которой вершина A удалена на 3 , а вершина B — на 8 . Определите квадрат гипотенузы AB .

Answer 1

(см. объяснение)

Объяснение:

Первый

Пусть ∠ECB=a. Тогда, т.к. ∠ACB=90°, то $90+\alpha+\angle ACH=180\;=\;\angle ACH=90-\alpha$. Соответственно $\angle HAC=90-(90-\alpha)=\alpha$. Значит треугольник AHC подобен треугольнику BEC по двум углам (∠AHC=∠BEC=90° и ∠ECB=∠HAC=$\alpha$). Из подобия следует, что $\dfrac{AH}{CE}=\dfrac{AC}{BC},\;=\dfrac{3}{6}=\dfrac{AC}{10},\;=AC=5$. Тогда по теореме Пифагора для ΔABC: $AB^2=25+100=125$.

Приведу решение, в котором используется только теорема Пифагора:

Пусть AC=x. AH=3, а BE=8. Тогда из прямоугольного треугольника AHC $AC^2=x^2-9,\;=AC=\sqrt{x^2-9}$. Из прямоугольного треугольника BCE $CE=\sqrt{100-64}=6$. Значит $HE=\sqrt{x^2-9}+6$. Проведем AF - высоту из точки A на BE. Тогда AFEH - прямоугольник => $AF=HE=\sqrt{x^2-9}+6$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника AFB $(\sqrt{x^2-9}+6)^2+25=AB^2$. Но с другой стороны из прямоугольного треугольника ABC $AB^2=x^2+100$, т.е. получили уравнение $(\sqrt{x^2-9}+6)^2+25=x^2+100$, откуда x=5, а значит $AC=5$. Тогда $AB^2=25+100=125$.

Задача решена!