Дано:
ΔABC - Тупоугольный равнобедренный
∠ABC = 150° AB = BC ∠(ABC,α) = 60°
CC₁⊥α BC₁ = 12 см
Найти:
S(ΔABC) - ? ∠CBC₁ - ?
1) Проведем высоту BH ⇒ BH⊥AC, следовательно:
∠ABH = 1/2 × ∠ABC = 1/2 × 150° = 75° (по свойству высоты равнобедренного треугольника).
∠BAH = ∠BCH = ∠AHB - ∠ABH = 90° - 75° = 15°
2) Рассмотрим ΔBC₁C:
∠BC₁C = 90°, ∠CBC₁ = ∠(ABC,α) = 60° так как BC₁∈α, a BC - сторона ΔABC ⇒ ∠C₁CB = ∠CC₁B - ∠CBC₁ = 90° - 60° = 30° ⇒ ΔBC₁C - прямоугольный ⇒ BC = 2BC₁ = 2×12 см = 24 см ⇒ AB = BC = 24 см
3) Далее воспользуемся с формулой площади ΔABC с известным углом:
S(ΔABC) = AB×BC×sin∠ABC - Площадь треугольника ABC с известным углом.
S(ΔABC) = 24 см × 24 см × sin∠150° = 576 см² × 1/2 = 288 см²
ответ: S(ΔABC) = 288 см², ∠CBC₁ = 60°
P.S. Рисунок показан в файле внизу↓
делит на части длиной 6 и 12 см
нужны дополнительные построения
продливаем отрезок DM до пересечения со стороной параллелограмма ВС. Пусть точка пересечения будет Е. Тогда треугольники АМD и ВМЕ равны по второму признаку равенства теугольников (по стороне и прилежащим к ней углам - по условию сторона МВ равна МА,углы ЕМВ и DMA - вертикальные,а угол МDA равен углу MEВ как вертикальные углы при параллельных прямых ЕС и АД.Следовательно, сторона АD равна стороне ЕВ,а так как в параллелограмме противолежащие стороны равны,то получаем равенство АД=ВС=ЕВ )
Обозначим точку пересечения отрезков ДМ и АС как К. Тогда треугольники АКД и СКЕ - подобны по первому признаку подобия (по двум углам - углы АКД и СКЕ - вертикальные,а уголы АДК и КЕС - вертикальные ),следовательно,если треугольники подобны,то можем записать соотношение сторон:
АК/CK=AD/EC,так как ЕС =ЕВ+ВС,получим
АК/CK=AD/(ЕВ+ВС) (1)
Пусть сторона АД будет х, а отрезок АК будетт у,тогда запишем равенство АД=ВС=ЕВ=х,а КС =18-у (по условию задачи).
Теперь запишем уравнение (1) в таком виде
у /(18-у) = х/2х,так как х больше ноля (длина отрезка не может быть отрицательной),то правую часть уравнения можн сократить на х.
получаем
у /(18-у) = 1/2
у=6
АК=6, КС =18-у=18-6=12
Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон, есть у нее такое свойство.
Т.е. АD:DС=АВ:ВС
Думаю, доказать, что FD|| АВ, вряд ли кто-то сумеет при данных в условии задачи отношениях отрезков на АС и ВС.
Поясню подробно.
FD может быть параллельно АВ в том случае, если треугольники АВС и FDС подобны.
Тогда углы АВD и ВDF равны как накрестлежащие,
углы ВDFи DВF равны как углы, равные половине угла В, и
FD равна ВF как сторона равнобедренного треугольника с равными углами при основании ВD.
И АС:DС=ВС:СF
Но по условию задачи
АС:DС=4:1,
а ВС:СF=6:1 - не получается ни подобия, ни применения свойства биссектрисы треугольника.
Поэтому здесь возможны два варианта:
1) либо задача специально дана с заведомо неверными величинами для того, чтобы решающий ее доказал невозможность FD|| АВ
2) либо условие задачи по ошибке списано неверно.
--------------
НО если сторона ВС равна 4, все получится.
Тогда FD=3 см как соответственная сторона стороне АВ при отношении сторон 4:1, так и из равнобедренного треугольника ВDF, где DF=ВF=3 см
И отношения отрезков основания АС будут равны отношению АВ:ВС,
и АС:DС=4:1,
а ВС:СF=4:1