Даны координаты вершин пирамиды
А(-5;-1;8) ; В(2;3;1) ; С (4;1;-2;) Д(6;3;7)
Найти:
1) угол между ветрами АВ и АС
2) проекцию вектора АD на вектор АС
3) площадь грани АВС
4) объем и высоту пирамиды
5) составить уравнение АВС
1) Решение: находим векторы AB и AC.
AB = (2-(-5); 3-(-1); 1-8) = (7; 4; -7).
AC = (4-(-5); 1-(-1); -2-8) = (9; 2; -10).
Найдем скалярное произведение векторов:
a · b = ax · bx + ay · by + az · bz = 7 · 9 + 4 · 2 + (-7) · (-10) = 63 + 8 + 70 = 141.
Найдем длины векторов:
|AB| = √(ax² + ay² + az²) = √(7² + 4² + (-7)²) = √(49 + 16 + 49) = √114
|AC| = √(bx² + by² + bz²) = √(9² + 2² + (-10)²) = √(81 + 4 + 100) = √185
Найдем угол между векторами:
cos α = a · b
|a||b|
cos α = 141 = 47√21090/7030 ≈ 0.97091.
√114 · √185
α = 13.85278°
2) Решение: находим вектор AD.
AD = (6-(-5); 3-(-1); 7-8) = (11; 4; -1).
Пр ba = a · b
|b|
Найдем скалярное произведение векторов:
a · b = ax · bx + ay · by + az · bz = 11 · 9 + 4 · 2 + (-1) · (-10) = 99 + 8 + 10 = 117
Найдем модуль вектора:(9² + 2² + (-10)² = √81 + 4 + 100 = √185
Пр ba = 117 = 117√185/185 ≈ 8,60201.
√185
3) Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения векторов АВ и АС.
Находим произведение АВхАС с применением схемы Саррюса.
I j k| I j
7 4 -7| 7 4
9 2 -10| 9 2 = -40i – 63j + 14k + 70j + 14i – 36k =
= -26i + 7j -22k. Вектор равен ( -26; 7; -22)
Найдем модуль вектора:
|c| = √cx² + cy² + cz² = √(-26)² + 7² + (-22)² = √676 + 49 + 484 = √1209
Найдем площадь треугольника:
S = (1/2) √1209 = √1209/2 ≈ 17,38534.
4) Объём пирамиды равен 1/6 смешанного произведения векторов АВ, AC и AD.
Произведение АВхAC и вектор AD найдены выше и равны:
ABxAD = (-26; 7; -22),
AD = (11; 4; -1).
-286 + 28 + 22 = -236.
V = (1/6)*|-236| = 236/6 = (118/3) ≈ 39,333 куб. ед.
5) Так как нормальный вектор плоскости АВС уже найден и равен (-26; 7; -22), осталось подставить в уравнение плоскости координаты точки А(-5;-1;8).
(-26)*(x – (-5)) + 7*(y – (-1) + (-22)*(z – 8) = 0,
-26x + 7y – 22z + 53 = 0 или с положительным коэффициентом при переменной х:
26x - 7y + 22z - 53 = 0.
Семья Пушкина - одна из наиболее интересных для изучения тем, ведь род был одним из древних России. Схема родословной, упоминаемой в Государевым родословце, относится к XVI веку. Фамилия происходила от прозвища некоего Григория Пушки. Род имеет дворянский герб.
дворянский герб.
Содержание:
Предки А. С. Пушкина Родители А. С. Пушкина Дети в семье Пушкиных Семья А. С. Пушкина Потомки А. С. Пушкина Интересные факты
Предки А. С. Пушкина
Генеалогическое древо рода Пушкиных венчает имя великого поэта. Но корни уходят в средневековую Русь. В своем стихотворении, которое так и называется “Моя родословная”, А. С. Пушкин упоминает своих предков, служивших Александру Невскому и Ивану Грозному. Самый известный - прадедушка по материнской линии, Абрам Петрович Ганнибал. Биография этого человека была богатой. По происхождению он был арап, родом из Византии. Его подарили императору как некую экзотику. Арап стал любимцем Петра Великого, ему дали имя и отчество. Абрам Петрович служил при дворе: изучал инженерное дело, фортификацию. После смерти императора Ганнибал попал в опалу.1
Николай Петрухин
18 подписчиков
Семья А. С. Пушкина - история и интересные факты родословной
Партнерский материал
10 апреля
1,8 тыс. дочитываний
1,5 мин.
Семья Пушкина - одна из наиболее интересных для изучения тем, ведь род был одним из древних России. Схема родословной, упоминаемой в Государевым родословце, относится к XVI веку. Фамилия происходила от прозвища некоего Григория Пушки. Род имеет дворянский герб.
дворянский герб.
Содержание:
Предки А. С. Пушкина Родители А. С. Пушкина Дети в семье Пушкиных Семья А. С. Пушкина Потомки А. С. Пушкина Интересные факты
Предки А. С. Пушкина
Генеалогическое древо рода Пушкиных венчает имя великого поэта. Но корни уходят в средневековую Русь. В своем стихотворении, которое так и называется “Моя родословная”, А. С. Пушкин упоминает своих предков, служивших Александру Невскому и Ивану Грозному. Самый известный - прадедушка по материнской линии, Абрам Петрович Ганнибал. Биография этого человека была богатой. По происхождению он был арап, родом из Византии. Его подарили императору как некую экзотику. Арап стал любимцем Петра Великого, ему дали имя и отчество. Абрам Петрович служил при дворе: изучал инженерное дело, фортификацию. После смерти императора Ганнибал попал в опалу.
Семья А. С. Пушкина - история и интересные факты родословной
Долгое время Абрам Петрович жил в Прибалтике, где и познакомился со своей второй женой, прабабкой поэта, немкой по происхождению - Христиной-Региной фон Шеберг. Брак был удачным. Со второй женой у прадеда было 11 детей. Третий сын, Осип Абрамович - дед поэта. Он был военным, карьера складывалась удачно. А вот семейная жизнь не удалась. Женился Осип на богатой и родовитой Марии Алексеевне Пушкиной. Но что-то не заладилось, и он уехал в Михайловское, где провернул брачную аферу: женился на Устинье Толстой, объявив свою первую жену умершей. Вскоре обман раскрылся. Последовало наказание - галерные работы на Черноморском флоте. Уйдя в отставку, Осип Абрамович доживал в Михайловском, обустраивая имение. Его первая жена, Мария Алексеевна Ганнибал, посвятила себя дочери Надежде и ее семье, матери поэта.