Отрезок BD - диаметр окружности с центром О. Хорда AC делит пополам радиус OB и перпендикулярна к нему. Найдите углы четырёхугольника ABCD и градусные меры дуг AB BC CD и AD. --------- Соединим центр окружности с вершиной А. Отрезок ОА - радиус, МО равен его половине. sin ∠ МАО равен МО:АО=1/2. Это синус 30°∠ МАО=30°, ⇒∠ АОВ=60°. ВО=АО=радиус окружности.⇒ △ АОВ равнобедренный. Сумма углов треугольника 180 градусов. ∠ ОВА=∠ОАВ=(180°-60°):2)=60° ⇒ △ АОВ- равносторонний. Углы ВАD и ВСD опираются на диаметр ⇒ они прямые=90°. ⊿ ВСD и ⊿ВАD -прямоугольные, и ∠СDВ=∠АDВ=180°-(90°-60°)=30° ⊿ ВСD=⊿ВАD. ∠ D=2 ·∠АDВ=2·30°=60° Сумма углов четырехугольника 360° ∠АВС=360°- 2·90°- 60°=120° Градусная мера дуги равна центральному углу, который на нее опирается. На дугу АВ опирается центральный угол АОВ=60°⇒ ее градусная мера 60° На дугу СВ опирается центральный угол СОВ=60°⇒ ее градусная мера 60° В треугольнике САD ∠САD=∠DАС=60° Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается. На дугу CD опирается вписанный угол САD=60°⇒ она равна 2·60°=120° На дугу АD опирается вписанный угол АСD=60°⇒ она равна 2·60°=120° ответ: ∠А=С=90° ∠В=120° ∠Д=60° градусные меры дуг AB=60° BC=60° CD=120° AD=120°.
1) Наименьшая диагональ на рис. это АС.
Рассмотрим для начала ΔАВС, он рабнобедренный, угол А=углу С=(180-120)/2=30.
Тогда угол САF будет равен 90(120-30).
Теперь рассмотрим ΔАВО он равностороний. Значит большаяя диагональ равна двум сторонам.
Рассмотрим ΔАСF он прямоугольный. По теореме Пифагора:
CF²=AC²+AF², т. к. CF тоже наибольшая диагональ, то CF=2AF
4AF²=AC²+AF²
3AF²=AC²
AF=AC/√3
AF=5 см
CF=2*5=10(см)
2) Пусть площадь будет S, тогда
S=(3√3AB²)/2
AB=AF
AB=5
S=(3√3*25)/2=37,5√3 см²
ответ: наибольшая диагональ равна 10 см; площадь 37,5√3 см².