Question

На сторонах АВ и АС равностороннего треугольника АВС выбраны точки P и R соответственно так, что AP = CR. Точка М – середина отрезка PR. Найдите BR, если АМ = 2.

Answer 1

Для решения данной задачи нам понадобится использовать свойство медианы в треугольнике.

По определению, медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Таким образом, точка M является серединой отрезка PR, а значит AM является медианой треугольника ABC.

В равностороннем треугольнике ABC все медианы являются одновременно и высотами и медианами. Поэтому точка M является также высотой треугольника ABC, опущенной из вершины A.

Так как треугольник ABC равносторонний, то все его высоты являются также и медианами. Поэтому AM является одновременно высотой треугольника и медианой.

Теперь посмотрим на треугольник APR. Так как AM является медианой в треугольнике ABC, то она делит сторону PR на две равные части. Значит, MR = MP.

Также дано, что AP = CR. Поэтому у нас получается следующая ситуация:

M
/ \
/ \
/ \
/_______\
A P R C

Теперь рассмотрим треугольник BMR. В нем у нас есть две одинаковые стороны: BM и MR, а также угол при вершине B.

Так как две стороны и угол между ними равны в двух треугольниках, то эти треугольники равны по стороне-углу-стороне (Постулат Г.Л. Коши).

Таким образом, треугольники BMR и ABC являются равными.

Теперь мы знаем, что у равных треугольников соответствующие стороны равны. Значит, отрезок BR у нас равен отрезку BC.

Нам известно, что АМ = 2. Так как AM является медианой, то она делит сторону BC пополам. Значит, BC = 4.

Таким образом, BR = BC = 4.

Ответ: BR = 4.