Question

На рёбрах DA, DB и DC тетраэдра DABC отметили соответственно точки E,F и K так, что DE/DA=DF/DB=DK/DC. Докажите, что плоскости EFK и ABC параллельны.

Answer 1

Для доказательства параллельности плоскостей EFK и ABC, нам понадобится использовать свойства параллельности и сходства треугольников.

1. Обозначим отношение DE/DA = DF/DB = DK/DC = a (так как все три отношения равны между собой).
2. Рассмотрим треугольники ADE и BDF. Мы знаем, что DE/DA = DF/DB. Таким образом, эти два треугольника подобны по стороне-уголу-стороне (Side-Angle-Side similarity criterion).
3. Из подобия треугольников ADE и BDF следует, что угол EDA равен углу FDB и угол EAD равен углу FBD. Также, отношение сторон DE/DF = DA/DB = a.
4. Аналогично рассмотрим треугольники ADE и CDK. Также следует, что треугольники ADE и CDK подобны по стороне-уголу-стороне, и отношение сторон DE/DK = DA/DC = a.
5. Из подобия треугольников ADE и CDK следует, что угол EDA равен углу KDC и угол EAD равен углу KCD.
6. Теперь рассмотрим треугольники BDF и CDK. Мы знаем, что угол EDF равен углу EDB + углу BDF, то есть углу EDA + углу FDA. Также имеем, что угол EDF равен углу KDC + углу CDF, то есть углу KDC + углу FDC.
7. Из полученных выше равенств можно сделать вывод, что угол EDA + угол FDA равен углу KDC + углу FDC. Из этого следует, что угол FDA равен углу FDC, а значит, эти две пары углов будут равны между собой.
8. Если углы двух плоскостей равны, то плоскости будут параллельны.

Таким образом, мы доказали, что плоскости EFK и ABC параллельны.