1) Если О - центр правильного треугольника АВС, то СМ - его высота,
АВ⊥СМ.
DO⊥АВС, значит DO перпендикулярна любой прямой этой плоскости, ⇒
АВ⊥DO.
АВ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости DOC, значит перпендикулярна плоскости. Значит прямая АВ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости DOC, ⇒
АВ⊥DC.
2) АВ = АС по условию, ∠DAC = ∠DAB по условию, DA - общая сторона для треугольников DAC и DAB, значит эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, ⇒ DC = DB, т.е. ΔDCB равнобедренный.
Пусть Н - середина ВС. Тогда
ВС⊥АН, так как медиана АН равнобедренного треугольника АВС является и высотой,
ВС⊥DH, так как ΔDCB тоже равнобедренный,
ВС перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости DAH, значит перпендикулярна самой плоскости, значит перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, в том числе и AD.
См. рисунок в приложении. Обозначим стороны прямоугольника MK=CN=х и MC=KN=у Тогда S(прямоугольника)=x·y Из подобия прямоугольных треугольников АВС и AKM AM:AC=MK:CB 5x=8(5-y) 5x=40-8y x=(40-8y)/5
S=(40-8y)·y/5 S(y)=(40y-8y²)/5 Исследуем эту функцию на экстремум. Находим производную. S`(y)=(40-16y)/5 Приравниваем ее к нулю 40-16у=0 у=2,5- точка максимума, так как производная при переходе через эту точку меняет знак с + на - слева от точки 2,5: S`(1)=34/5 >0 справа от точки 2,5: S`(4)=-24/5<0
x=(40-8y)/5=(40-8·2,5)/5=4 ответ. S=4·2,5=10 кв см - наибольшая площадь
1) Если О - центр правильного треугольника АВС, то СМ - его высота,
АВ⊥СМ.
DO⊥АВС, значит DO перпендикулярна любой прямой этой плоскости, ⇒
АВ⊥DO.
АВ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости DOC, значит перпендикулярна плоскости. Значит прямая АВ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости DOC, ⇒
АВ⊥DC.
2) АВ = АС по условию, ∠DAC = ∠DAB по условию, DA - общая сторона для треугольников DAC и DAB, значит эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, ⇒ DC = DB, т.е. ΔDCB равнобедренный.
Пусть Н - середина ВС. Тогда
ВС⊥АН, так как медиана АН равнобедренного треугольника АВС является и высотой,
ВС⊥DH, так как ΔDCB тоже равнобедренный,
ВС перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости DAH, значит перпендикулярна самой плоскости, значит перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, в том числе и AD.
ответ: угол между прямыми AD и ВС равен 90°.