Во-первых, я Вас умоляю: не коверкайте хотя бы математические термины. В слове "гИпотенуза" вторая буква категорически И, а не Е. Если Вы со мной согласны, продолжаю. Опишем окружность вокруг нашего треугольника. Поскольку напротив гипотенузы находится прямой угол, и он вписанный, соответствующий центральный будет в два раза больше и поэтому будет являться развернутым. Иными словами, центр описанной окружности является серединой гипотенузы. Далее, поскольку площадь треугольника равна половине произведения основания (у нас это гипотенуза, равная 10) на высоту, наибольшая площадь будет у треугольника с наибольшей высотой, которая будет равна радиусу окружности (который у нас равен половине гипотенузы, то есть 5).
На основе задания делаем вывод: треугольник КОМ - прямоугольный с соотношением катетов 2:1. Обозначим КО = 2х. а МО = х. Тогда по Пифагору 40² = х²+(2х)². 5х² = 1600, х² = 1600/5 = 320, х = √320 = 8√5.
Точка О делит медианы в отношении 2:1 от вершины. Находим МО = 8√5, КО = 2*8√5 = 16√5. Отрезок ОК1 по свойству медианы равен 1/2 КО и равен 8√5. То есть, треугольник МОК1 - прямоугольный равнобедренный. МК1 = К1N = x√2 = 8√5*√2 = 8√10, а сторона MN = 2*8√10 = 16√10.
Последнюю неизвестную сторону находим по теореме синусов. Находим угол MКO. tg<MKO = x/2x = 1/2. <MKO = arc tg(1/2) = 0,463648 радиан = 26,56505°. Находим угол ОКМ1. OM1 = (1/2)MO = 8√5/2 = 4√5. tg<ОКМ1 = ОМ1/OK = 4√5/16√5 = 1/4. <ОКМ1 = arc tg(1/4) = 0,244979 радиан = 14,03624°. Угол К равен сумме МКО и ОКМ1: <К = 26,56505° + 14.03624° = 40,60129°. Находим угол N. sin N/40 = sin K/(16√10), sin N = 40*sin K/16√10 = 40* 0,650791/16√10 = 0,514496. Угол N = arc sin 0,514496 = 0,54042 радиан = 30,96376°. Угол В = 180°-<K-<N = 180°- 40,60129° - 30,96376° = 108,4349°. KN = sin M*40/sin N = 0,948683*40/0,514496 = 73,75636. Периметр треугольника равен 164,3528026.
Далее, поскольку площадь треугольника равна половине произведения основания (у нас это гипотенуза, равная 10) на высоту, наибольшая площадь будет у треугольника с наибольшей высотой, которая будет равна радиусу окружности (который у нас равен половине гипотенузы, то есть 5).
Отсюда наибольшая площадь равна (1/2)10·5=25